Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/52

on trouverait, en supposant $p+q=1,$ la somme qui doit revenir à $\mathrm {B}$ égale à

$aq^{f+h-1}\left[1+{\frac {p}{q}}(f+h-1)+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {(f+h-1)(f+h-2)}{1.2}}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {p^{f-1}}{q^{f-1}}}{\frac {(f+h-1)\ldots (h+1)}{1.2.3\ldots (f-1)}}\right].$

Cette proposition est démontrée dans plusieurs Ouvrages ; elle se déduit fort aisément de la méthode des suites récurro-récurrentes, comme on le verra dans le Mémoire cité au commencement de celui-ci ; on y trouvera pareillement une solution générale du problème des partis, dans le cas de trois ou d’un plus grand nombre de joueurs, problème qui n’a encore été résolu par personne, que je sache, bien que les géomètres qui ont travaillé sur ces matières en aient désiré la solution. {Voir la seconde édition de l’Analyse des jeux de hasard de M. Montmort, page 247.)

Présentement, puisque la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner une partie est inconnue, nous pouvons la supposer un des nombres quelconques, compris depuis $0$ jusqu’à $1.$ Supposons qu’un de ces nombres $x$ représente cette probabilité ; dans cette supposition, la probabilité que, sur $2n-f-h$ parties, $\mathrm {A}$ en gagnera $n-f,$ et $\mathrm {B} ,\ n-h,$ sera

$x^{n-f}(1-x)^{n-h}$

d’où il résulte, par le principe de l’Article II, que la probabilité de la supposition que nous avons faite pour $x$ est

${\frac {x^{n-f}(1-x)^{n-h}dx}{\int x^{n-f}(1-x)^{n-h}dx}},$

l’intégrale étant prise de manière qu’elle commence lorsque $x=0$ et qu’elle finisse lorsque $x=1.$ Maintenant, $x$ étant supposé être la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner une partie, on trouvera que la somme qui doit revenir à $\mathrm {B}$ est

$a(1-x)^{f+h-1}\left[1+{\frac {x}{1-x}}(f+h-1)+{\frac {x^{2}}{(1-x)^{2}}}{\frac {(f+h-1)(f+h-2)}{1.2}}\right.$

$\left.+\ldots +{\frac {x^{f-1}}{(1-x)^{f-1}}}{\frac {(f+h-1)\ldots (h+1)}{1.2.3\ldots (f-1)}}\right].$