supposons ensuite que la probabilité pour croix soit 
l’espérance de 
sera égale à ![{\displaystyle {\frac {(1-\varpi )\left[(1+\varpi )^{x}-1\right]}{\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebbd6fe83e55600b375d9129c621fa59256813b)
Or, comme il est aussi naturel d’attribuer à croix comme à pile la probabilité 
si l’on nomme 
l’espérance de 
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} =1+{\frac {1-\varpi ^{2}}{2\varpi }}\left[(1+\varpi )^{x-1}-(1-\varpi )^{x-1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3647a66509cdd67e6cd469cbbb40dca8de7d40)
si l’on regarde 
comme fort petit, on aura, tant que 
ne sera pas considérable.
![{\displaystyle \mathrm {E} =x+\left[{\frac {(x-1)(x-2)(x-3)}{1.2.3}}-{\frac {x-1}{1}}\right]\varpi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afc77c3bcaf555ee4c4673f6514af917d9fd938)
Ainsi l’espérance de est moindre que 
si est au-dessous de 
et plus grand que 
elle égale si 
Après un plus grand nombre de coups, l’espérance de devient plus grande que et, posant infinie, elle est infiniment plus grande.
Comme la valeur de 
est inconnue, il n’est guère possible d’évaluer ainsi l’espérance de pour un nombre 
de coups ; cependant, si l’on est assuré que ne peut excéder une certaine quantité, par exemple, 
mais qu’il puisse être également un des nombres fractionnaires compris entre 
et on peut calculer de cette manière l’espérance de 
Si l’on conçoit la fraction 
partagée dans une infinité de parties égales, représentées par 
il est clair que l’élément de l’espérance de sera égal à 
et l’espérance totale sera
![{\displaystyle \int \mathrm {E} qd\varpi =\int q\left(1+{\frac {1-\varpi ^{2}}{2\varpi }}\right)\left[(1+\varpi )^{x-1}-(1-\varpi )^{x-1}\right]d\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c972fb7c93a63e03db550a0b9b3acf96aef861)
(en intégrant et ajoutant la constante convenable)
![{\displaystyle {\begin{aligned}=n&+\left[{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}}-{\frac {n-1}{1}}\right]{\frac {1}{3q^{2}}}\\&+\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-5)}{1.2.3.4.5}}-{\frac {(n-1)\ldots (n-3)}{1.2.3}}\right]{\frac {1}{5q^{4}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4b86cb8dad545a09d9733d57ae933f406863f8)
