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et

(5)

${\frac {\partial \left(s^{2}{\cfrac {du}{dt}}-2ns^{2}v\sin \theta \cos \theta \right)}{\partial \theta }}=-2ns{\frac {\partial .v\sin ^{2}\theta }{\partial \theta }}.$

il faut enfin satisfaire à ces conditions : que l’on ait à l’origine du mouvement

$y=0,\ {\frac {dy}{dt}}=0,\ u=0,\ {\frac {du}{dt}}=0,\ v=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dv}{dt}}=0.$

VII.

Supposons d’abord que la planète et le fluide n’ont aucun mouvement de rotation et que, à l’origine du mouvement, leurs figures ont été sphériques ; il faut faire alors dans les équations précédentes $n=0$ et $\gamma =1,$ ce qui réduit les équations (6), (8) et (10) aux suivantes :

(11)

$y=-l\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right),$

(12)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=&lg{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}+lg{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi \partial \theta }}+lg{\frac {\partial .u{\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}}{\partial \theta }}\\+\mathrm {B} \Delta +&\mathrm {K} \sin 2\theta \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )\right]\\&+2\mathrm {K} \cos 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ),\end{aligned}}\right.$

(13)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta =&lg{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi ^{2}}}+lg{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varpi \partial \theta }}+lg{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial u}{\partial \varpi }}\\+&\mathrm {C} \Delta \sin \theta +\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin 2\theta \sin(\varphi -\varpi )\\&\qquad \qquad +\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \sin(2\varphi -2\varpi )\,;\end{aligned}}\right.$

l’équation (4) donne, en y faisant $n=0$ et en l’intégrant par rapport à $t,$

(14)

${\frac {\partial u}{\partial \varpi }}={\frac {\partial .v\sin ^{2}\theta }{\partial \theta }},$

et l’équation (5) donne

(15)

${\frac {\partial .s^{2}u}{\partial s}}=0.$

Supposons d’abord le fluide infiniment rare, ou $\Delta =0,$ et cherchons