VIII.
Reprenons les équations drx
(16)
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(17)
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leurs intégrales renferment chacune deux constantes arbitraires, au moyen desquelles on peut remplir les conditions de
![{\displaystyle u=0,\quad {\frac {du}{dt}}=0,\quad v=0,\quad {\frac {dv}{dt}}=0,\quad y=0,\quad {\frac {dy}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d7ce50fb9af52a65505fe39baf52e9019b8994)
à l’origine du mouvement ; car il est aisé de voir, par ce qui précède, que ces conditions seront remplies si l’on a, à cette origine,
![{\displaystyle x=0,\quad {\frac {dx}{dt}}=0,\quad z=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {dz}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d927810b2d787d6a69a3d4b37e8f0fb07d23003a)
mais, comme nous ne sommes arrivés aux équations (16) et (17) qu’en supposant
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z,\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{3}x}{\partial \varpi ^{3}}}=-4{\frac {\partial x}{\partial \varpi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fafb62604d46124420c164483cc663466737151)
il faut, avant que de les admettre, s’assurer si ces nouvelles équations sont compatibles avec elles ; pour cela, différentions deux fois de suite l’équation (17) par rapport à
en faisant
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94acfb0ab3c9cef985afbeaf853b3adea2ccaa2)
nous aurons l’équation suivante
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}+6lgz'-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53dfdc17ce5eb0120b66dd1ab460ae078daddacb)
Cette équation est précisément la même que l’équation (17) ; de plus, les deux constantes arbitraires de son intégrale sont encore les