Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/138

mement petit ; on pourra donc, après ce temps, supposer

${\begin{aligned}x&={\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)+{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2a^{2}-8m^{2}}}\cos(2mt-2\varpi ),\\z&={\frac {2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{a^{2}-m^{2}}}\cos(mt-\varpi )\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire les valeurs précédentes de $u,v$ et $y.$

Si l’on supposait le globe recouvert d’un nombre $n$ de fluides de densités différentes, et tels que la somme de leurs profondeurs fût très petite relativement au rayon du globe, on parviendrait facilement, en ayant égard aux attractions et aux pressions de ces différents fluides, à des équations différentielles dont on déterminerait les intégrales par la méthode que nous venons d’exposer dans les articles précédents ; les valeurs de $u,v$ et $y$ auraient pour chaque fluide une forme analogue à celle que nous avons trouvée, et il n’y aurait de différence qu’en ce que les quantités $x$ et $z,$ relatives à chaque fluide, seraient déterminées par un nombre $2n$ d’équations différentielles du second ordre, dans lesquelles ces variables seraient mêlées les unes avec les autres, les $x$ étant mêlées avec les $x$ et les $z$ avec les $z\,;$ mais toutes ces équations sont facilement intégrales par les méthodes connues. Je supprime ici tous les calculs que j’ai faits sur cette matière, parce qu’ils n’ont plus, d’après ce qui précède, d’autre difficulté que leur longueur ; cette discussion étant d’ailleurs purement mathématique, je préfère exposer avec étendue une nouvelle méthode qui, par sa simplicité, peut mériter l’attention des géomètres, et qui me servira dans la suite pour déterminer les oscillations du fluide, lorsque la planète a un mouvement de rotation, ce qui est le cas de la nature.

XII.

Concevons un astre immobile au-dessus d’une planète pareillement immobile, et considérons comme le pôle de cette planète le point au-dessus duquel l’astre répond ; si l’on fait abstraction du frottement et de la ténacité du fluide, il résulte des formules que nous avons don-