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ayant ainsi $y,$ on aura la vitesse de chaque molécule du fluide, en observant que cette vitesse dans le sens du méridien est $\alpha {\frac {du}{dt}}$ ou $-\alpha m{\frac {\partial u}{\partial \varpi }},$ et que, dans le sens du parallèle, cette vitesse est $\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta$ ou $-\alpha m{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta .$ Si l’on intègre présentement la seconde et la troisième des équations $(\Gamma ),$ en remarquant que $u$ et $v$ ne devant renfermer que des quantités périodiques, ${\frac {\partial u}{\partial \varpi }}$ et ${\frac {\partial v}{\partial \varpi }}$ ne doivent renfermer aucun terme qui soit fonction de $\theta$ seul, on aura

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}\qquad =&-{\frac {2m\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-m^{2}}}\ \ \cos 2\theta \sin(\ \ mt-\ \ \varpi )\\&-{\frac {m\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-4m^{2}}}\sin 2\theta \sin(2mt-2\varpi ),\\{\frac {dv}{dt}}\sin \theta =&\quad {\frac {2m\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-m^{2}}}\quad \cos \theta \ \cos(\ \ mt-\ \ \varpi )\\&+{\frac {2m\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-4m^{2}}}\ \ \sin \theta \ \cos(2mt-2\varpi ).\end{aligned}}$

Si l’on suppose maintenant que l’astre, au lieu de se mouvoir uniformément sur le même parallèle et à la même distance du centre de la planète, change lentement de parallèle et de distance, et que sa vitesse soit un peu variable ou, ce qui revient au même, si l’on suppose que $h,v$ et $m,$ au lieu d’être constants, sont très peu variables, de manière que leurs différences divisées par l’élément du temps soient, par exemple, de l’ordre $l,$ il suffira de substituer, au lieu de ces quantités, leurs véritables valeurs variables ; l’expression de $y$ sera ainsi exacte aux quantités de l’ordre $l^{2},$ et celles de ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ et de ${\frac {\partial v}{\partial t}}\sin \theta$ le seront aux quantités près de l’ordre $l\,;$ on peut donc les employer sans craindre aucune erreur sensible ; au reste, si l’on voulait avoir les petites corrections qui résultent de la variabilité des quantités $h,v$ et $m,$ on pourrait faire usage de la méthode que nous exposerons (art. XXI).

Si l’on compare les résultats auxquels nous venons de parvenir avec ceux que nous avons trouvés (art. XI), on verra qu’ils sont parfaite-