Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/152

toute la difficulté de la détermination des oscillations du fluide se trouve ainsi réduite à satisfaire à ces équations.

La quantité $\gamma$ ou, ce qui revient au même, la loi de la profondeur du fluide étant indéterminée dans ces équations, la supposition la plus naturelle que l’on puisse faire sur cette profondeur consiste à regarder le sphéroïde et le fluide comme ayant eu primitivement une figure elliptique ; dans ce cas, on a

$\gamma =1+{\frac {q}{l}}\sin ^{2}\theta ,$

$q$ étant un coefficient constant ; nous adopterons conséquemment cette valeur de $\gamma$ dans la suite de ces recherches ; cela posé, si l’on intègre la seconde des équations (L), on aura

$a={\frac {\mathrm {K} }{2g}}\cos 2\theta \left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)+\mathrm {F} ,$

$\mathrm {F}$ étant une constante que nous déterminerons dans la suite ; en substituant cette valeur dans la première de ces équations, on aura en l’intégrant,

$\gamma a^{(1)}\sin \theta =-{\frac {1}{l}}\int ad\theta \sin \theta \,;$

partant,

${\begin{aligned}a^{(1)}&=-{\frac {\int ad\theta \sin \theta }{\left(1+{\frac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)l\sin \theta }}\\&=-{\frac {\mathrm {K} \left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)(3\cos \theta -\cos 3\theta )-12g\mathrm {F} \cos \theta +\mathrm {F} '}{12gl\sin \theta \left(1+{\frac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}},\end{aligned}}$

$\mathrm {F} '$ étant une nouvelle constante ajoutée en intégrant. Pour satisfaire maintenant à la troisième et à la quatrième des équations (L), supposons

${\begin{aligned}b\quad &=\sin \theta \cos \theta \left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\\b^{(1)}&=e+e^{(1)}\sin ^{2}\theta +e^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +e^{(r)}\sin ^{2r}\theta ,\\\end{aligned}}$

$f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,e,e^{(1)},e^{(2)},\ldots$ étant des coefficients constants. En substituant ces valeurs de $b$ et de $b^{(1)},$ dans la troisième des équations (L),