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même profondeur ; supposons, par exemple, $r=10,$ et l’on aura, pour l’expression de la profondeur de la mer,

$l+{\frac {2\sin ^{2}\theta }{289.254\left(1-{\cfrac {3\Delta }{45\Delta ^{(1)}}}\right)}},$

quantité qui se réduit à très peu près à $l,$ car le terme

${\frac {2\sin ^{2}\theta }{289.254\left(1-{\cfrac {3\Delta }{45\Delta ^{(1)}}}\right)}}$

n’excède pas ${\frac {1}{20}}$ de lieue, dans le cas même où l’on suppose $\sin \theta =1$ et $\Delta =\Delta ^{(1)}.$

Pour éclaircir maintenant par un exemple la méthode des articles XV et XVI, nous allons considérer ici le cas de $r=1$ et déterminer les valeurs de $y,{\frac {du}{dt}}$ et ${\frac {dv}{dt}}\sin \theta .$ Pour cela, nous observerons que dans ce cas on a

${\begin{aligned}y=\varepsilon \left(3\cos ^{2}\theta -1\right)&+\sin \theta \cos \theta \left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta \right)\cos(it+\varpi )\\&+\sin ^{2}\theta \left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta \right)\cos(2it+2\varpi )\\{\frac {du}{dt}}=i{\frac {du}{d\varpi }}=&-i\left(e+e^{(1)}\sin ^{2}\theta \right)\sin(it+\varpi )\\&-2i{\text{ϐ}}\sin \theta \cos \theta \sin(2it+2\varpi )\,;\end{aligned}}$

et l’équation (/) de l’article XV nous donnera

${\begin{aligned}\sin \theta &{\frac {dv}{dt}}=i\sin \theta {\frac {dv}{d\varpi }}=\cos \theta \cos(it+\varpi )\\&\quad \times \left[{\frac {2\mathrm {K} }{i^{2}}}\sin \nu \cos \nu -{\frac {2ne}{i}}-{\frac {gf_{1}}{i^{2}}}-\sin ^{2}\theta \left({\frac {2ne^{(1)}}{i}}+{\frac {gf_{1}^{(1)}}{i^{2}}}\right)\right],\\&+\sin \theta \cos(2it+2\varpi )\\&\quad \times \left[{\frac {\mathrm {K} }{2i^{2}}}\sin ^{2}\nu -{\frac {2n}{i}}{\text{ϐ}}-{\frac {gp_{1}}{i^{2}}}+\sin ^{2}\theta \left({\frac {2n{\text{ϐ}}}{i}}+{\frac {gp_{1}^{(1)}}{i^{2}}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

tout se réduit donc à déterminer $\varepsilon ,f,f_{1},f^{(1)},f_{1}^{(1)}\,;p,p_{1},p^{(1)},p_{1}^{(1)}\,;e,e^{(1)}$ et ϐ.

On aura d’abord, par l’article XVI,

$\varepsilon ={\frac {\mathrm {K} }{3g\left(1-{\cfrac {4\Delta \pi }{5g}}\right)}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)\,;$