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En ajoutant ces deux équations membre à membre, et observant que l’équation

$y\sin \theta =-l{\frac {\partial .u\sin \theta }{\partial \theta }}-l{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta$

donne

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin \theta =-l{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial .u\sin \theta }{\partial \theta }}-l{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta ,$

on aura

(S)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&lg{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}+lg{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {lg}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}\\&-l{\frac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \theta ^{2}}}\Delta -l{\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\Delta -{\frac {l}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {D} }{\partial \varpi ^{2}}}\Delta \\&-l{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}}-l{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}-{\frac {l}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \varpi ^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

C’est à l’intégration de cette équation aux différences partielles que se réduit alors la détermination des oscillations du fluide.

Il paraît extrêmement difficile de l’intégrer généralement en y supposant $\Delta =0,$ et à plus forte raison en supposant $\Delta$ quelconque ; car, quoiqu’il soit facile de conclure la valeur de $\mathrm {D}$ de celle de $y,$ cependant la première ne dépend pas, à proprement parler, de la seconde, suivant un rapport analytique ; tout ce que l’on peut faire, dans l’état actuel de l’Analyse, est donc de satisfaire à cette équation dans les cas particuliers, dont aucun ne mérite plus d’attention que celui dans lequel on considère le fluide comme ayant été primitivement en équilibre.

Pour déterminer, dans ce cas, les oscillations du fluide, nous observerons que l’on a, par des réductions fort simples,

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}}&+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {l}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \varpi ^{2}}}\\=&-\mathrm {K} (1+3\cos 2\theta )\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)\\&-6\mathrm {K} \sin 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )\\&-3\mathrm {K} \sin ^{2}\theta \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )\,;\end{aligned}}$