étant des coefficients faciles à déterminer par l’article cité ;
étant égal à
et
égal à
est une constante arbitraire qui peut être fonction quelconque de
or il est clair que cette fonction n’est autre chose que la valeur de
lorsqu’on suppose
![{\displaystyle y=h+h^{(1)}\cos \theta +\ldots +h^{(s)}\cos ^{s}\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30851707aa833ef1a6012a2dcff8c5e142056c5)
et comme on a
![{\displaystyle \mathrm {D} \Delta =2\alpha \Delta \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }y'\sin pdpdq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dfc0627f4ed2fb5df764371a3e65d2a12fe0a0)
on aura, par l’article IX, pour
une expression de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {G} =\sigma +\sigma ^{(1)}\cos \theta +\sigma ^{(2)}\cos ^{2}\theta +\ldots +\sigma ^{(s)}\cos ^{s}\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d503ec9dce1c3348de8b47436bed2b5680104d50)
étant faciles à déterminer, et
étant égal à
partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \Delta =\sigma &+\sigma ^{(1)}\cos \theta +\sigma ^{(2)}\cos ^{2}\theta +\ldots +\sigma ^{(s)}\cos ^{s}\theta \\&+\quad \left[a\sin(\ \ \varphi -\ \ \varpi )+b\ \cos(\ \ \varphi -\ \ \varpi )\right]\sin \theta \cos \theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+{\frac {1}{2}}\left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]\sin ^{2}\theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left({\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a043dae1042787393063e81aa8dc865ac3377c)
Dans le cas présent,
![{\displaystyle s=2,\quad h^{(2)}=6x,\quad h^{(1)}=0,\quad r=0,\quad f=2,\quad p=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daab0136812bf4d0419346e6399a8a6f42261c85)
d’où il est aisé de conclure
![{\displaystyle \sigma ^{(2)}={\frac {24}{5}}\pi x\Delta ,\qquad \sigma ^{(1)}=0,\qquad \lambda ={\frac {8}{5}}\pi \Delta ,\qquad {\text{ʎ}}={\frac {8}{5}}\pi \Delta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661167550ec294bf85b90c3ce408b0a37fdd5bf8)
partant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} \Delta =&{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)+{\frac {8}{5}}\pi \Delta x'\sin \theta \cos \theta +{\frac {4}{5}}\pi \Delta x''\sin ^{2}\theta +\sigma +{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\\=&{\frac {4}{5}}\pi \Delta y+\sigma +{\frac {8}{5}}\pi \Delta x\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a85dfef9c007dd42b32ed4987c7af1b1563f93b)
l’équation (S) se changera ainsi dans la suivante
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=l\left(g-{\frac {4}{5}}\pi \Delta \right)\left({\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7d7c45b4b317ad83ffc04de6878a1ca297c936)
![{\displaystyle -l{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \theta ^{2}}}-l{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}-{\frac {l}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial \varpi ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d19dafa61211e78c146835449c8a8ec3aaac7e)