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On tirera des deux dernières

${\begin{aligned}b=&\quad {\frac {gz\left(i\sin \theta {\frac {\partial a'}{\partial \theta }}+2nsa'\cos \theta \right)}{i\sin ^{2}\theta \left(i^{2}-4n^{2}\cos ^{2}\theta \right)}},\\c=&-{\frac {g\left(isa'+2n\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial a'}{\partial \theta }}\right)}{i\sin ^{2}\theta \left(i^{2}-4n^{2}\cos ^{2}\theta \right)}}\,;\end{aligned}}$

en sorte que l’on connaîtra $b$ et $c,$ et par conséquent les vitesses horizontales ${\frac {du}{dt}}$ et ${\frac {dv}{dt}}\sin \theta$ du fluide lorsqu’on aura déterminé $a'.$ Si l’on substitue présentement ces valeurs de $b$ et de $c$ dans l’équation

$a\sin \theta =-l{\frac {\partial b}{\partial \theta }}-lscz,$

et que l’on fasse $\sin \theta =x$ et $dx$ constant, on aura

(T)

$\left\{{\begin{aligned}ix^{3}a&\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)^{2}\\=&-lgzix^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}a'}{\partial x^{2}}}\\&+lgzix^{3}{\frac {\partial a'}{\partial x}}\left(i^{2}+4n^{2}-4n^{2}x^{2}\right)\\&+lgsza'\left[(is+2n)\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)+16n^{3}x^{2}\left(1-x^{2}\right)\right]\\&-lg{\frac {\partial z}{\partial x}}x\left(1-x^{2}\right)\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)\left(ix{\frac {\partial a'}{\partial x}}+2nsa'\right).\end{aligned}}\right.$

Cette équation renferme toute la théorie des oscillations de la mer ; il n’est même pas nécessaire de l’intégrer : il suffit d’y satisfaire, car nous n’avons besoin que de connaître la partie des oscillations du fluide qui dépend de l’action du Soleil et de la Lune, et nullement celle qui est relative à l’état primitif du fluide, puisqu’il est évident qu’elle doit s’anéantir à la longue, en vertu des frottements et généralement des résistances que le fluide éprouve, et qui depuis longtemps l’auraient fait parvenir à l’état d’équilibre, sans les attractions du Soleil et de la Lune qui l’en dérangent sans cesse. Pour satisfaire à l’équation (T), il est nécessaire de connaître $i$ et $s\,;$ il faut, de plus,