de plus, l’hypothèse d’une profondeur constante revient à faire
dans l’équation (T) du même article ; si l’on y suppose ensuite
et
et que, pour abréger, l’on fasse
![{\displaystyle {\frac {2n^{2}}{lg}}=\mu \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{g}}={\text{ϐ}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc699ab5d8bd9920a2a9ba5a2033f31ef9f58f)
elle deviendra
(R)
|
|
|
Pour satisfaire à cette équation, supposons
![{\displaystyle a=\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e198aeba582bda703cfa4888bcb12c53279e3d95)
nous aurons généralement, entre les coefficients
![{\displaystyle \mathrm {A} ^{(r+1)},\quad \mathrm {A} ^{(r)},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} ^{(r-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67aabca29894a6a38da70b76074731629974ce1c)
l’équation
![{\displaystyle 0=\mathrm {A} ^{(r+1)}\left(2r^{2}+2r-4\right)-\mathrm {A} ^{(r)}\left(2r^{2}-r-1\right)+\mu \mathrm {A} ^{(r-1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b168f116b8e1369c4470724905279382a058e31f)
Cette équation est aux différences finies du second ordre, et l’on déterminera les deux constantes arbitraires de son intégrale au moyen des valeurs de
et de
or la substitution de l’expression de
dans l’équation (R) donne
et
il reste présentement à intégrer l’équation précédente, ce qui paraît très difficile ; nous nous bornerons ainsi à déterminer successivement, au moyen de cette équation, les valeurs de
En y faisant
et
on trouve l’équation identique
en y faisant
on a
![{\displaystyle 0=8\mathrm {A} ^{(3)}-5\mathrm {A} ^{(2)}+\mu \mathrm {A} ^{(1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1dcfba7d561a5ddfc6f12c09d78489e8642c53)
équation au moyen de laquelle on déterminerait
si l’on connaissait
si l’on fait
on aura
![{\displaystyle 0=20\mathrm {A} ^{(4)}-14\mathrm {A} ^{(3)}+\mu \mathrm {A} ^{(2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f8fbb8c3e08112a4144e183bd939ac3aae5b6f)
équation au moyen de laquelle on déterminerait
si l’on connaissait
on verra de la même manière que la connaissance de
dé-