dant de l’orbite lunaire à l’équinoxe du printemps ; et, comme le moyen mouvement du nœud est très lent relativement à celui de la Lune,
est très peu considérable par rapport à
on a ensuite, à très peu près,
![{\displaystyle \sin q'=\operatorname {tang} q'\qquad {\text{et}}\qquad \cos q'=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8044398bdae8c2b07ef940700b2208f641b33cb7)
Cela posé, si l’on néglige les quantités de l’ordre
et que, parmi les termes de l’ordre
on ne conserve que les sinus et les cosinus de l’angle
parce qu’ils deviennent très considérables par les intégrations, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} =&{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}\left\{c\sin \varepsilon \sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\cos \varepsilon \sin(2mt+2\mathrm {A} )\right\},\\\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} =&{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}\left\{\sin \varepsilon \cos \left[\cos(2mt+2\mathrm {A} \right]\right.\\&\quad \left.+c\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)\cos \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\right\}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da82e60a83b85c3c7c28555322762b04d92ca27f)
on aura ainsi
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+n^{2}\varphi '+{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e2144c0bd0f01a15ff6e04c00d040e075962b2)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {n}{2m}}\sin \varepsilon +1\right)\sin(2mt+2\mathrm {A} )+\mathrm {H} '-nt\sin \varepsilon \\&+{\frac {{\cfrac {nc}{m-m'}}\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)-c\sin \varepsilon }{\cos \varepsilon }}\sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0733c8291f7a6420650bf8fd7f6e632f2982546)
étant une constante arbitraire qui résulte de l’intégrale
![{\displaystyle \int \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd1b42cf08e439533dc60d9e036ec005918b0dd)
on aura donc, en intégrant et observant que,
étant très petit par rapport à
on peut négliger
vis-à-vis de ![{\displaystyle n^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d493ce4b4ff7b949832b4d7d63f22859658509ad)
![{\displaystyle \varphi '=\mathrm {N} \sin nt+\mathrm {N} '\cos nt-{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a745b027dd0aed648709b31fed76d6b28376cea3)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}\mathrm {H} '&-nt\sin \varepsilon +\left({\frac {n}{2m}}\sin \varepsilon +1\right)\sin(2mt+2\mathrm {A} )\\&+{\frac {{\cfrac {nc}{m-m'}}\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)-c\sin \varepsilon }{\cos \varepsilon }}\sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de793e1678ce46a31bc408382a4c0701b276d0c8)