ne négligera que des quantités infiniment petites du second ardre par rapport à celles que l’on considère ; on peut donc supposer nulle la différentielle de la quantité précédente prise en ne faisant varier que le temps
ce qui exige que cette quantité soit égale à une fonction indépendante du temps ; on aura donc
![{\displaystyle \Delta {\text{ϐ}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} \left(1+\alpha {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}\right)=\Delta {\text{ϐ}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} \varphi (\mathrm {X,Y} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725e0a41a8bd4fa2c393188275d7dfdb2382d479)
étant une fonction quelconque de
et de
sans
mais,
et
étant nuls à l’origine du mouvement, cette fonction se trouve déterminée et égale à l’unité ; partant on aura
(R)
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Si l’on nomme ensuite
la pression qu’éprouve la molécule fluide et
la pesanteur, l’équation (B) de l’article III donnera, dans le cas présent,
(S)
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la caractéristique
servant, comme dans l’article cité, à désigner les différentielles des quantités prises en regardant le temps
comme constant. Cette équation a encore lieu, par le même article, pour tous les points de la surface extérieure du fluide, pourvu qu’on y suppose
et que les différences
et
soient celles de la surface même.
Pour que l’équation précédente soit possible, il faut que
![{\displaystyle d\mathrm {X} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+d\mathrm {Z} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9bd2c62c54458eb48d20cc9a467ee8d109b2bed)
soit une différence exacte et qu’ainsi l’on ait
![{\displaystyle {\frac {\partial {\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{\partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial {\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\partial \mathrm {X} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b573739d162b58ea9097ddb12ae88c3a0cce982f)