on aura, au moyen de ces équations, les valeurs de
et de
relatives tous les points du fluide, lorsqu’on aura déterminé ces valeurs en
et en
pour tous les points de la surface ; or l’équation (S) devient à la surface
![{\displaystyle 0=g\delta (\mathrm {Z} +\alpha z)+\alpha d\mathrm {X} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\alpha d\mathrm {Z} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d277c41eb094ef254b1f3da79b2e1da342b37501)
d’où il suit que
est de l’ordre
Soit donc à la surface du fluide
![{\displaystyle \mathrm {Z} =l+\alpha u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d74f1b264731def64a5839a3854ffa45a088dcf)
étant une fonction quelconque de
on aura, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
(T)
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Il faut maintenant satisfaire à cette équation et à ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=&\qquad \qquad \varphi \left(\mathrm {X} +l{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(\mathrm {X} -l{\sqrt {-1}}\right),\\x=&-{\sqrt {-1}}\left[\varphi \left(\mathrm {X} +l{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(\mathrm {X} -l{\sqrt {-1}}\right)\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46e412700dc3cb91c178888caaa4918d0dd1daa)
or cela paraît très difficile en général, c’est-à-dire en donnant à
une valeur quelconque arbitraire ; il ne nous reste donc qu’à y satisfaire dans des suppositions particulières pour ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Supposons
de manière que l’on ait
tant que
n’est pas compris entre les limites
et
ce qui revient à faire au delà de ces limites
constamment égal à
l’équation (T) devient alors
(T’)
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On peut y satisfaire et remplir toutes les conditions du mouvement, en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\quad \mathrm {A} \sin {\frac {\mathrm {X} }{c}}\left(e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}+e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}\right),\\z=&-\mathrm {A} \cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}\left(e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}-e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f29c1d02d2358054cdb49196b7c8b450940f24)