négatives ou nulles de 
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm &\left\{\quad \ \ e^{(n-1)\alpha }-e^{(n-2)\alpha }\left(2^{n-1}-n\right)\right.\\&\quad +e^{(n-2)\alpha }\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&\quad -e^{(n-4)\alpha }\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\&\quad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\left.\right\}\\=\mathrm {A} &\quad e^{(n-1)\alpha }+\mathrm {A} ^{(1)}e^{(n-2)\alpha }+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021adf1454a9e0c1654272b1873078254f91443e)
Si l’on substitue cette valeur de 
dans l’équation (7), et que l’on y suppose 
on aura
![{\displaystyle \pm {\frac {\left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&-\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}{2^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf798a508e36d4bb8170f3f948e0187d1b03478)
partant
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &\left[(n-1)^{n-1}-(n-2)^{n-1}n+(n-3)^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699d81c2f72bd6b6fb9218666532dcd62cdd3e87)
le signe supérieur ayant lieu dans cette dernière équation si 
est pair, et l’inférieur s’il est impair.
La formule précédente n’a lieu qu’au tant que est plus grand que 
et l’on ne peut trouver par son moyen la valeur de 
mais cette valeur est très facile à déterminer en considérant que
d’où l’on tire
