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donc

(11)

$\Delta _{1}^{i}=\left[\left(1+\Delta u\right)^{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}-1\right]^{i}$

et

(12)

$\sideset {}{_{1}^{i}}\sum ={\frac {1}{\left[\left(1+\Delta u\right)^{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}-1\right]^{i}}}.$

Ces deux formules renferment la théorie des interpolations prise avec toute la généralité dont elle est susceptible.

Je dois observer ici que les équations (3), (5), (6), (10), (11) et (12) ont déjà été données par M. de la Grange dans un excellent Mémoire qui a pour titre : Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l’intégration des quantités variables, et qui est inséré dans le Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1772. Ce grand analyste y est parvenu au moyen d’une analogie très remarquable entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales ; analogie qu’il se contente d’observer, mais dont il semble regarder la démonstration comme très difficile (voir le Mémoire cité, p. 186 et 195) ; c’est ce qui m’a engagé à les démontrer ici par une méthode qui, si je ne me trompe, est aussi directe et aussi simple qu’on puisse le désirer, et qui de plus a l’avantage de faire voir a priori $h$ raison de cette analogie singulière.

VII.

Revenons présentement au développement des fonctions en suites ; mais, au lieu de supposer la fonction $u$ donnée immédiatement comme dans l’article II, imaginons qu’elle soit une fonction de $x,\ x$ étant donné par l’équation aux différences partielles

${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}},$

dans laquelle $z$ est une fonction quelconque de $x.$ Cela posé, pour réduire $u$ dans une suite ordonnée par rapport à $\alpha ,$ il faut (art. I)