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d’où l’on tirera facilement la valeur de ${\frac {\partial ^{3}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}\partial \alpha _{2}}}\,;$ en y changeant ensuite $z$ en $z^{n},\ z_{1}$ en $z_{1}^{n_{1}},\ z_{2}$ en $z_{2}^{n_{2}},$ et nommant $\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle ,\mathrm {Z,Z_{1},Z_{2}}$ ce que deviennent $u,z,z_{1},z_{2}$ lorsqu’on y change $x,x_{1},x_{2}$ en $\varphi (t),\varphi _{1}(t_{1}),\varphi _{2}(t_{2}),$ on trouvera

$q_{n,n_{1},n_{2}}={\frac {1}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}.1.2.3\ldots n_{2}\partial t_{2}^{n_{2}-1}.}}$

$\times \partial ^{n+n_{1}+n_{2}-3}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{3}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{1}\partial t_{2}}}\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{1}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}\right)\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}\right)\\+&{\frac {\partial ^{2}\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{1}\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}+\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}\left(\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{1}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} ^{n}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t_{2}}}+\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}\right)\\+&{\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t_{2}}}\left(\mathrm {Z} ^{n}\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} ^{n}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}}{\partial t}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t_{1}}}+\mathrm {Z} _{1}^{n_{1}}{\frac {\partial \mathrm {Z} ^{n}}{\partial t_{1}}}{\frac {\partial \mathrm {Z} _{2}^{n_{2}}}{\partial t}}\right)\end{aligned}}\right\},$

et ainsi de suite.

IX.

En considérant d’autres équations aux différences partielles entre $\alpha ,$ et $t,$ on pourrait, par la méthode de l’article VII, développer en série une fonction quelconque $u$ de $x,$ et l’on trouverait ainsi une infinité d’équations très générales entre $x$ et $\alpha ,$ pour lesquelles ce développement serait possible ; mais on serait encore bien éloigné d’avoir la solution du problème général dans lequel on se propose de développer en série une fonction quelconque de $x$ et de $\alpha ,$ quelle que soit l’équation qui donne $x$ en $\alpha ,$ pourvu que la série qui en résulte ne renferme que des puissances positives et entières de $\alpha .$ Voici, pour le résoudre, un théorème qui, par sa généralité et par sa simplicité, peut mériter l’attention des analystes.