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page 267, j’ai donné pour le même objet une nouvelle méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires. En y réfléchissant de nouveau, il m’a paru que cette manière de faire varier les arbitraires pouvait être d’un grand usage dans l’Analyse, et que, relativement aux arcs de cercle qui entrent dans les intégrales approchées des équations différentielles qui n’en renferment point elles-mêmes, elle donnait le moyen le plus direct et le plus général de les faire disparaître, toutes les fois que cela est possible. Je me propose, dans ce Mémoire, de l’exposer plus simplement que je ne l’ai fait dans les Mémoires cités, et j’ose me flatter d’y présenter aux géomètres une nouvelle théorie de ce genre d’équations différentielles.

II.

Soit l’équation différentielle du second ordre

(A)

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+h^{2}y+\mathrm {T} +\alpha \mathrm {Y} ,$

dans laquelle $dt$ est constant ; $\mathrm {T}$ est fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d’angles croissants proportionnellement à $t\,;\ \alpha$ est une quantité très petite, et $\mathrm {Y}$ est fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d’angles croissants proportionnellement à $t,$ de $\alpha ,$ de $y$ et de ses différences. Pour l’intégrer, soit

$y=z+\alpha z'+\alpha ^{2}z''+\alpha ^{3}z'''+\ldots .$

En substituant cette valeur dans l’équation (A) et comparant successivement les termes sans $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha ^{2},$ etc., on aura le système suivant d’équations

(B)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,\ +h^{2}z\,\ +\mathrm {T} ,\\0=&{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\,+h^{2}z'\,+\mathrm {T} ',\\0=&{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+h^{2}z''+\mathrm {T} '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$