représente par
leurs intégrales, on aura pour seconde valeur de
![{\displaystyle y=\varphi (t,p-\alpha \mathrm {E} ,q-\alpha \mathrm {G} ,\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1179f0d37c7afbea0c753b0e0d156cfe43c25388)
En substituant cette seconde valeur dans
et représentant par
leurs intégrales, on aura pour troisième valeur approchée de
![{\displaystyle y=\varphi (t,p-\alpha \mathrm {E} ',q-\alpha \mathrm {G} ',\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b7ee07f2cdc64f4d1c0650763fe8b15dcc8bf2)
et ainsi de suite.
Supposons que l’équation différentielle
ainsi que sa première intégrale, ne renferment point d’arcs de cercle, mais que les intégrales subséquentes en renferment, en sorte qu’ils soient introduits par les fonctions successives
on les fera disparaître en les effaçant de la dernière valeur de
à laquelle on s’arrêtera, et que nous supposons être la
ième ; mais il faudra y substituer, au lieu de
les valeurs que l’on trouvera en intégrant les équations
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\alpha \mathrm {A} ,\qquad {\frac {dq}{dt}}=-\alpha \mathrm {B} ,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0247929cf576f015b7440029b8c2b3663d36ab)
étant les parties constantes du coefficient de
dans ![{\displaystyle \mathrm {E} ^{(n-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4826249276584520ad7fc6fc4ad4aec9a7b286)
![{\displaystyle \mathrm {G} ^{(n-1)},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5a3ffb43ffaec94efb33929e35e5c6bd33be89)
La méthode précédente donne un moyen facile de reconnaître a priori si les intégrales approchées de l’équation
renfermeront des arcs de cercle ; car il est visible, par exemple, que la seconde valeur de
ne peut renfermer l’arc
qu’autant que le produit de
par l’un des facteurs
qui rendent intégrale l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8e3f1ba2560b9c3ca2ac87384755f04aad55ac)
renferme un terme constant, après y avoir substitué pour
sa première valeur. Pour appliquer cette règle à l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+h^{2}y+\alpha \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de57aa1caedacb1a142fce9842c6af7aa8b6e83)