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IV.

En général, si, dans un problème quelconque relatif aux deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on représente par ${\frac {1+\alpha }{2}}$ l’adresse du plus fort, et par ${\frac {1-\alpha }{2}}$ celle du plus faible, le sort $\mathrm {P}$ du joueur $\mathrm {A}$ supposé le plus fort sera exprimé par une fonction de $\alpha$, qui, réduite en série, aura la forme suivante :

$\mathrm {P} =a+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+\ldots .$

En changeant $\alpha$ en $-\alpha ,$ on aura, pour l’expression de $\mathrm {P} ,$ dans le cas où le joueur $\mathrm {A}$ est le plus faible,

$\mathrm {P} =a-a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}-a_{3}\alpha ^{3}+\ldots .$

On aura donc la véritable valeur de $\mathrm {P}$ en prenant la moitié de la somme des deux séries précédentes, ce qui donne

$\mathrm {P} =a+a_{2}\alpha ^{2}+a_{4}\alpha ^{4}+\ldots .$

Lorsque $\alpha$ est très petit, on peut s’en tenir aux deux premiers termes de cette série, et l’on a sensiblement

$\mathrm {P} =a+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}\,;$

on connaîtra donc alors, par le signe de $a^{2},$ si $\mathrm {P}$ est plus grand ou moindre que dans le cas où les adresses sont égales ; il sera plus grand si $a_{2}$ est positif, et moindre s’il est négatif.

De ce qu’il ne reste dans la valeur de $\mathrm {P}$ que des puissances paires de $\alpha ,$ il résulte que le cas de $\alpha =0$ indique toujours un maximum ou un minimum pour cette valeur ; mais il est possible qu’elle soit susceptible de plusieurs maxima ou minima, et c’est ce qui aura lieu si la différentielle de $\mathrm {P} ,$ prise par rapport à $\alpha$ et égalée à zéro, donne pour à une ou plusieurs valeurs positives, comprises entre les limites dans lesquelles $\alpha$ peut être renfermé ; dans ce cas, on cherchera si la supposition de $\alpha =0$ donne le plus grand de tous ces maxima, ou le