mière, dans une fonction de
la seconde, dans une fonction de
Nous désignerons ces fonctions par
Que l’on change ensuite, dans
en
en
on aura une fonction de
que nous représenterons par
cela posé, on prendra l’intégrale
![{\displaystyle \int d\mathrm {U} _{1}\Gamma \left(s-u_{1}-u_{2}-\ldots ,u_{1},u_{2},\ldots \right)\Pi \left(s-u_{1}-u_{2}-\ldots \right)\Pi _{1}(u_{1})\Pi _{2}(u_{2})\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88bc6fa68e26d9a5897532f045d9ce67c45a9f4)
depuis
jusqu’à ![{\displaystyle u_{1}=s-u_{2}-u_{3}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e6d864c0305cc65ca31aea73162effef289b05)
On multipliera cette première intégrale par
et on l’intégrera depuis
jusqu’à
on multipliera cette seconde intégrale par
et on l’intégrera depuis
jusqu’à
En continuant ainsi, on arrivera à une fonction de
seule, que nous désignerons par ![{\displaystyle \Gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
et cette fonction sera la somme demandée de toutes les valeurs de
multipliées par leurs probabilités respectives ; mais, pour cela, il faut avoir soin de changer, dans un terme quelconque multiplié par
en
en
en
de diminuer
de l’exposant de
et, par conséquent, d’écrire, au lieu de ![{\displaystyle s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5748cdb81bf00075de8e7e6828c343687513830)
de faire cette dernière quantité égale à zéro toutes les fois qu’elle sera négative ; enfin, de supposer
Si
sont des fonctions rationnelles et entières des variables
d’exponentielles, de sinus et de cosinus, toutes ces intégrations successives seront possibles, parce qu’il est dans la nature de ces quantités de ne reproduire par les intégrations que des quantités du même genre ; dans les autres cas, ces intégrations pourront n’être pas possibles, mais la méthode précédente réduit alors le problème aux quadratures des courbes.
VIII.
Le cas de fonctions rationnelles et entières offre quelques simplifications qu’il n’est pas inutile d’exposer. Pour cela, soit
un produit quelconque des variables
si, après y avoir