Il faut ensuite, dans le développement de cette quantité, substituer pour à la partie de l’exposant de
qui dépend de
et de
pour
la partie de cet exposant qui dépend de
et de
etc. ; diminuer
de l’exposant entier de
et rejeter ce terme toutes les fois que cet exposant, ainsi diminué, sera négatif ; enfin supposer
![{\displaystyle 0=c'=c''=c'''=\ldots ,\qquad s=s'=s''=\ldots ,\qquad {\text{et}}\qquad l=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b0e63622740c60601d09a5194bf75026372b86)
La quantité précédente se réduira ainsi à cette formule très simple
![{\displaystyle {\frac {b^{n}s^{n}}{1.2.3\ldots n}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n-2}}+\ldots +{\frac {1}{r}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704c170cdb04b80d6b985bede5dfc7c9d1a42b9b)
en divisant cette quantité par le nombre de toutes les combinaisons, qui ne peut être une fonction de
, on aura, pour l’ordonnée moyenne correspondante au
ième point,
![{\displaystyle \mathrm {N} \left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+\ldots +{\frac {1}{r}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56576989569cfce940610afa22d9c786b53f3ea9)
étant fonction de
.
Supposons maintenant que les nombres
et
deviennent infinis, que le
ième point réponde à l’abscisse
et le
ième point à l’abscisse
on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+\ldots +{\frac {1}{r}}=\log n-\log r=\log {\frac {n}{r}}=\log {\frac {a}{x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94da3cf6c8a7d0419a5af93f4a88eecc1c9777dc)
donc l’ordonnée moyenne
qui répond à l’abscisse
est
on déterminera
en observant que l’on doit avoir
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {1}{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7cd5f0e2264533be878f92ea1782cd2b9d8c28)
partant
![{\displaystyle y={\frac {1}{2a}}\log {\frac {a}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b05fb24902226913ad63757cad5cacb17e17e7d)
Il faut observer que cette équation doit être supposée la même,
étant positif ou négatif, ce qui revient à supposer ici les logarithmes des