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d’où l’on tirera

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(r-1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+m^{(r-1)}{\frac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \theta }}+l^{(r-1)}z^{(r-1)}\,;$

on aura ensuite, en faisant $z^{(r)}={\frac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \theta }}+m^{(r-1)}z^{(r-1)},$

$0={\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \varpi }}+nz^{(r)}+z^{(r-1)}\left(l^{(r-1)}-{\frac {\partial m^{(r-1)}}{\partial \varpi }}-nm^{(r-1)}\right).$

Maintenant, puisque l’expression de $z,$ considérée par rapport à la fonction arbitraire $\varphi (\varpi )$, se termine, on peut supposer, en n’ayant égard qu’à cette seule fonction, $z^{(r)}=0\,;$ partant,

$0=l^{(r-1)}-{\frac {\partial m^{(r-1)}}{\partial \varpi }}-nm^{(r-1)}\,;$

donc

$0={\frac {\partial z^{(r)}}{\partial \varpi }}+nz^{(r)}\,;$

d’où l’on tire

$z^{(r)}=e^{-\int nd\varpi }\psi (\theta ),$

$\psi (\theta )$ étant une fonction quelconque arbitraire de $\theta \,;$ ensuite l’équation

$z^{(r)}={\frac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \theta }}+m^{(r-1)}z^{(r-1)}$

donne

$z^{(r-1)}=e^{-\int m^{(r-1)}d\theta }\left[\varphi (\varpi )+\int e^{\int m^{(r-1)}d\theta -\int nd\varpi }d\theta \psi (\theta )\right]\,;$

ayant ainsi $z^{(r-1)},$ on aura $z^{(r-2)}$ au moyen de l’équation

$0={\frac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(r-1)}+z^{(r-2)}\left(l^{(r-2)}-{\frac {\partial m^{(r-2)}}{\partial \varpi }}-nm^{(r-2)}\right),$

ce qui donne

$z^{(r-2)}={\frac {{\cfrac {\partial z^{(r-1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(r-1)}}{nm^{(r-2)}+{\cfrac {\partial m^{(r-2)}}{\partial \varpi }}-l^{(r-2)}}}\,;$

on aura pareillement

$z^{(r-3)}={\frac {{\cfrac {\partial z^{(r-2)}}{\partial \varpi }}+nz^{(r-2)}}{nm^{(r-3)}+{\cfrac {\partial m^{(r-3)}}{\partial \varpi }}-l^{(r-3)}}},$