on aura, en intégrant depuis
jusqu’à
![{\displaystyle \int x^{p}e^{-x}dx=p\int x^{p-1}e^{-x}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173dadad91faa8c82defd2324effa2f7cac41fd8)
d’où il est aisé de conclure
![{\displaystyle \int x^{p}e^{-x}dx=1.2.3\ldots p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba7a6a1de53b7fa11dff68347a02aa07ee1a30c)
Le maximum de
a lieu lorsque
ce qui donne
pour ce maximum ; soient donc
et
on aura
![{\displaystyle \log y-\log p^{p}e^{-p}={\frac {1}{\alpha }}\log(1+\alpha \theta )-\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed23669bae1276a13cfce165f3385fde0fbf473)
donc
Si l’on fait
![{\displaystyle \log(1+\alpha \theta )-\alpha \theta =-\alpha t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d5711d4c9b0947647f850a01212d437227bf48)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\alpha \theta ^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{3}\theta ^{4}}{4}}+\ldots =t^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb5dd58a20cf7e572b8cc3a9e8fc1f491f472b4)
soit
![{\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\left(h+h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+h''\alpha t^{2}+h'''\alpha ^{\frac {3}{2}}t^{3}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42fc1dd1e79714a84e75e98a9cf53ddcaa6e8d5)
on trouvera
![{\displaystyle h={\sqrt {2}},\qquad h'={\frac {2}{3}},\qquad h''={\frac {\sqrt {2}}{18}},\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c9dadfc96b3384016d252521266e3cb67c5b40)
et l’on aura
![{\displaystyle d\theta ={\frac {dt}{\sqrt {\alpha }}}\left(h+2h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+3h''\alpha t^{2}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc094068a2eb1b073937c601bbf40780aaecfac)
donc
![{\displaystyle \int ydx=p^{p+{\frac {1}{2}}}e^{-p}\int dt\left(h+2h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+3h''\alpha t^{2}+\ldots \right)e^{-x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af22dd4d2f4ca9f3e50a28eb8dd5fe32fe4ac72a)
L’intégrale en
doit être prise depuis
jusqu’à
or,
étant nul, on a
et par conséquent
étant égal à
on a
partant
on doit donc prendre l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
d’où l’on tire, par l’article XXIII,
![{\displaystyle \int ydx=p^{p+{\frac {1}{2}}}e^{-p}{\sqrt {\pi }}\left(h+1.3{\frac {\alpha h''}{2}}+1.3.5{\frac {\alpha ^{2}h^{\text{ıv}}}{2^{2}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605184d72cf970eb674a0f07af0fc522b545c3a0)