l’erreur doit s’estimer par la somme des produits de chaque erreur à craindre, multipliée par sa probabilité ; le milieu qu’il faut choisir doit donc être tel que la somme de ces produits soit moindre que pour tout autre instant.
Supposons présentement que, dans la courbe des probabilités dont l’équation est
la valeur de puisse s’étendre depuis jusqu’à en sorte que l’intervalle dans lequel peut varier soit si l’on fait il est visible que pourra varier depuis jusqu’à et que les probabilités des différentes valeurs de seront proportionnelles à ou à en sorte qu’on pourra les représenter par étant un coefficient constant. Soit la valeur de que l’on doit prendre pour le véritable instant du phénomène, on aura pour la somme des erreurs à craindre depuis jusqu’à multipliées par leurs probabilités respectives, l’intégrale précédente étant prise pour toute l’étendue de ces limites ; on aura ensuite pour la somme des erreurs à craindre depuis jusqu’à multipliées par leurs probabilités, le signe servant à indiquer que l’intégrale doit être prise pour toute l’étendue de ces dernières limites. On aura donc
pour la somme entière des erreurs à craindre, multipliées par leurs probabilités, et doit être tel que cette somme soit un minimum. Or, si l’on fait varier de la quantité infiniment petite il est clair que la variation de sera et que celle de sera la variation de la quantité précédente sera donc
En égalant cette quantité à zéro par la propriété du minimum, on aura
