carrer par parties la courbe des probabilités et de déterminer ainsi l’ordonnée qui divise sa surface en deux parties égales.
XXXII.
La règle ordinaire des milieux arithmétiques se déduit de cette méthode, en supposant
comme il est facile de s’en assurer ; mais nous allons démontrer un théorème beaucoup plus général en faisant voir que cette règle a lieu toutes les fois : 1o que la loi de facilité des erreurs est la même pour toutes les observations ; 2o que les mêmes erreurs, soit en plus, soit en moins, sont également possibles ; 3o qu’elles peuvent être infinies et que la fonction qui exprime leurs facilités ne décroît d’une quantité finie que lorsque
est infini, mais qu’alors elle va toujours en diminuant jusqu’au point de devenir nulle.
Pour cela, soit
la loi de facilité des erreurs des observations,
étant une quantité infiniment petite ; soit de plus
la valeur de
lorsque
et, par conséquent, lorsque
est une quantité finie. Il est évident que l’ordonnée de la courbe des probabilités, depuis
jusqu’à
sera
![{\displaystyle y=\varphi (\alpha x)\varphi (\alpha p+\alpha x)\varphi (\alpha p'+\alpha x)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb028c376364765977249e613190357c9bec307)
En supposant le nombre des observations égal à
et en négligeant les quantités de l’ordre
on aura
![{\displaystyle y=\varphi (\alpha x)^{n}+\alpha \left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right)\varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98130018b66e5cd63ae546848fe34afbd1949eed)
or, si l’on prend l’intégrale
depuis
jusqu’à
et que l’on se rappelle que
lorsque
et que
lorsque
on aura
![{\displaystyle \int \alpha \varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}}dx=-{\frac {1}{n}}q^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95a9aa66e21e747b06c4c280fb05068707b4297)
soit donc
l’intégrale
prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d712b9802ff602e706efe6bde0ca96e5252699)