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l’équation (V) donne ensuite, à l’origine de l’intégrale,

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}={\frac {\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}{2\theta }}-{\frac {b{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}}{2\theta }}={\frac {\cos \theta }{2\theta }}-{\frac {\sin \theta }{4\theta ^{2}}}-{\frac {b\sin \theta }{4\theta ^{2}}}\,;$

on aura donc

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {(b-1)\sin \theta }{4\theta ^{2}}}=z^{(2)}\,;$

or l’équation

$z^{(2)}=(\varpi +\theta )^{-b}\psi (\theta )$

donne, à l’origine de l’intégrale,

$z^{(2)}=(2\theta )^{-b}\psi (\theta )\,;$

partant,

$\psi (\theta )={\frac {(b-1)\sin \theta }{(2\theta )^{2-b}}}.$

Pour avoir maintenant $\varphi (\varpi )$, on observera que l’équation

$z^{(1)}={\frac {1}{\varpi +\theta }}\left[\varphi (\varpi )+\int (\varpi +\theta )^{1-b}\psi (\theta )d\theta \right]$

donne à l’origine de l’intégrale, où $z^{(1)}=0,$ comme on vient de le voir,

$\varphi (\varpi )=\int (\varpi +\theta )^{1-b}(1-b){\frac {\sin \theta d\theta }{(2\theta )^{2-b}}}\,;$

on aura ainsi $\varphi (\varpi ),$ en intégrant le second membre de cette équation et en changeant ensuite dans l’intégrale $\theta$ en $\varpi .$

Il resterait présentement à donner des méthodes pour intégrer par approximation les équations aux différences partielles, et pour avoir leurs intégrales particulières, lorsque l’intégrale complète est impossible ; mais l’un et l’autre de ces deux objets exige des recherches très délicates, que la longueur déjà trop grande de ce Mémoire m’oblige de remettre à un autre temps.