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conduit véritablement k un mode de formation tout à fait distinct, » c’est que les deux facteurs, quoique se présentant "avec des fonctions différentes qui leur ont fait donner des noms différents, multiplicande, multiplicateur, concourent cependant absolument de la même manière k la formation du produit, de telle sorte qu’on peut prendre indifféremment chacun d’eux pour multiplicande ou pour multiplicateur, sans rien changer au résultat de l’opération. Ainsi, par exemple, le nombre trois répété quatre fois donne le même produit que le nombre quatre répété trois fois. À la multiplication correspond la division, comme à l’addition la soustraction. La multiplication est la branche directe, et la division la branche inverse du second algorithme, commé l’addition est la branche directe, et la soustraction la branche inverse de la sommation. La division consiste, étant donnés deux nombres, dont l’un est considéré comme un produit et l’autre comme un des facteurs de ce produit, à déterminer un. troisième nombre qui soit l’autre facteur. Celui des deux nombres qui
de d
, et
celui qu’on cherche est le quotient ; 11 faut remarquer que si un produit n’est au fond qu’une somme, un quotient n’est pas une différence ; la division ne pourrait être considérée comme un cas particulier de la soustraction, comme une soustraction plus rapide, que si l’on envisageait uniquement le reste a obtenir en divisant un nombre par un autre. Le second algorithme, qui embrasse la multiplication et la division, a reçu le nom de reproduction.
La sommation nous a conduit à la reproduction ; la reproduction nous conduit a un troisième algorithme, qui a reçu le nom de graduation. En multipliant le produit de deux nombres par un troisième, nous avons le produit de trois facteurs. En multipliant ce produit par un quatrième nombre, nous avons le produit de quatre facteurs. Supposons ces facteurs égaux, et cette circonstance nous donne un nouveau mode de génération. Ici, comme dans la reproduction, le ’ nombre à construire rie dépend plus que de deux éléments : -1° le nombre qui est employé plusieurs fois comme facteur ; 2° le nombre de fois que cette sorte de répétition a lieu. Le résultat obtenu au moyen de ces deux élé-, ments reçoit le nom de puissance, le facteur celui de racine, et l’autre nombre élémentaire est appelé exposant, parce qu’il indique le : degré déla puissance. Le produit était une espèce particulière du genre somme, caractérisée par l’égalité des nombres ajoutés l’un à l’autre ; la puissance est une.espèce particulière du genre produit, caractérisée par l’égalité des nombres multipliés l’un" par l’autre. Comme la sommation et la reproduction, la graduation a une branche directe et une branche inverse ; la première s’appelle élévation des puissances, la secondé extraction des racines. ’
. IV. — Origine des nombres fractionnaires et irrationnels. Nous avons jusqu’ici considéré le nombre commé une collection, un agrégat d’unités ; mais l’examen plus approfondi des deux derniers algorithmes, reproduction et graduation, nous conduit k une conception, k une définition du nombre, plus
fénérale et plus abstraite. Avec les.fonctions irectes ab = x, ab=x, nous restons’ dans l’arithmétique des nombres collections, des nombres donnés par la nature, dans Varxthmètique des quotités, parce que ces fonctions peuvent toujours se ramener k la première a+b=x, sont toujours numériquement-réalisables. Il n’en est pas de même des fonctions inverses
afb=x,)/a=w ; elles ne sont déterminables qu’en certains cas très-particuliers, si nous nous en tenons k la considération des nombres entiers bu naturels. En effet, lorsque le dividende ne contient pas un nombre exact de fois le diviseur, il est impossible de trouver pour quotient un nombre entier, puisque si un tel quotient existait, en répétant le diviseur un nombre exact de fois marqué par ce quotient, on reproduirait le dividende, ce qui est contre la supposition. On veut, par exemple, diviser quinze par’çuàrre ; d’abord le quotient ne saurait être ni trois, ni un nombre inférieur k trois, puisque le diviseur répété trois fois donne seulement douze, qui est inférieur au dividende ; et ensuite, ce quotient ne saurait être quatre ni un nombre supérieur k quatre, puisque le diviseur répété quatre fois donne seize, qui surpasse le divi■ dende. De sorte qu’évidemment le quotient de quinze divisé par quatre n’a pas de place dans la suite indéfinie des nombres tels que les donne la sommation. Ce quotient, qui est une chimère inintelligible, au point de vue de l’arithmétique des quotités, devient une réalité par l’intervention de la raison qui applique la fonction{{{1}}} k la détermination des grandeurs continues. De l’arithmétique des nombres entiers, nous passons h.Y arithmétique des nombres fractionnaires ; k cette définition : tout nombre est un agrégat d’unités, nous substituons celle-ci, donnée par Newton : tout nombre est le rapport d’une grandeur avec l’unité, c’estrà-dire la manière dont une grandeur est composée avec l’unité. '
Ce n’est pas tout : la fonction y a nous conduit k des quantités qui ne sont, ni dès nombres
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entiers, ni dès nombres fractionnaires. Lorsqu’on veut connaître la racine déterminée d’un nombre qui n’est pas une puissance exacte du degré marqué par l’exposant donné-, ’il est impossible de trouver un nombre entier qui soit la racine demandée. On demande, par exemple, la racine cubique ou troisième de quarante-cinq ; cette racine n’est ni trois, ni un nombre inférieur a trois, attendu que trois élevé k la troisième puissance donne seulement vingt-sept ; ce n’est pas non plus quatre ni un nombre supérieur k quatre, puisque déjk quatre élevé à la troisième puissance donne soixante-quatre. La racine troisième de quarante-cinq n’est donc pas dans la suite des nombres naturels. Mais il y a plus, une telle racine ne saurait être davantage un nombre fractionnaire, car on prouve qu’en poussant indéfiniment la subdivision de l’unité en parties égales, jamais ces parties ne seront de telle grandeur que la racine d’une puissance inexacte en contienne une quantité précise., Toujours, à la vérité, en s’arrêtant à une subdivision-quelconque, on peut déterminer deux nombres fractionnaires consécutifs issus de cette subdivision, entre lesquels la racine cherchée est comprise ; mais enfin elle ne peut jamais être évaluéé en nombres entiers et fractionnaires que sous la réserve d’une différence qui, pour être indéfiniment réductible, n’en est pas moins réelle (V. Approximation). Ces sortes de quantités, qui ne peuvent avoir qu’une expression numérique inexacte, sont dites irrationnelles, parce qu’on ne saurait véritablement enseigner leur rapport avec l’unité ; on les appelle aussi incommensurables, comme n’ayant point avec l’unité de commune mesure.
Il n’est pas sans intérêt de rappeler que les nombres fractionnaires et les quantités irrationnelles formaient autrefois, l’objet d’une branche distincte de la science des nombres, k laquelle on avait donné le nom de logistique, du mot logos, rapport. « Les anciens, dit Leibnitz, distinguaient Y arithmétique et la logistique : l’arithmétique, qui s’occupe des nombres entiers ; la logistique, qui a pour objet les considérations relatives aux fractions et,- en général, k toute espèce de rapports. »
V. — Langue de l’arithmétique ou mumération. Le calcul, arithmétique suppose un système de nomenclature des nombres qui leur donne une formédéfinitive pour l’esprit ; il appelle un système de signes aussi simples que possible, qui permettent d’effectuer avec facilité et rapidité toutes les opérations. La nomenclature des nombres, c’est la numération parlée ; le système dés signes numériques, ’ c’est la numération écrite.
— Numération parlée. « Pour peu que les nombres fussent composés, dit Condillac, ils ne s’offriraient k nous que sous une idée vague de multitude, si k chaque collection d’unités nous n’avions pas donné un nom pour la distinguer de la collection précédente qui’ a une ■ unité de. moins, et de fa collection suivante qui a une unité de plus. Huit, par exemple, me représente un nombre que je distingue de sept et de neuf ; de sept, parce que je me souviens que c’est un nom que j’ai donné k une collection qui est sept plus un ; et de neuf, parce que je me souviens également que c’est un nom que j’ai donné k une collection qui est neuf moins un. » Il faut de£ noms pour exprimer les nombres ; mais si chaque nombre devait être conçu comme un groupe simple et désigné par un nom particulier, distinct et indépendant de ceux des autres, il est clair que notre faculté de compter n’irait pas loin ; des noms de nombres trop multipliés ne pourraient trouver place dans notre mémoire. Nous allons voir que les trois algorithmes primitifs, sommation, reproduction, graduation, fournissent le moyen dé dénommer autant de nombresqu’il’est nécessaire, k l’aide de signes vocaux très-peu nombreux. Nous commençons par donner des noms particuliers aux dix premiers nombres qui constituent pour notre esprit des groupes simples formés par addition successive d’unités :
Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix.
Quant aux nombres supérieurs k dix jusqu’k vingt, nous les concevons en vertu du jugement de sommation, non plus comme des groupes simples, mais comme des groupes composés du groupe dix et des groupes infé-, rieurs à dix, ce quijious permet de les exprimer avec deux mots déjk connus, de sorte que nous avons : ’
dix-un (undecim, dont nous avons fait
onze, n’a pas.d’autre sens) ; dix-deux (duodecim, douze) ; dix-trois (tredecim, treize) ; dix-quatre (quatuordecim, quatorze) ; dix-cinq (quindecim, quinze) ; dix-six (sexdecim, seize) ; dix-seçt ; • dix-rhuit : dix-neuf. Nous arrivons k vingt, que nous concevons comme un groupe composé, non plus par sommation, mais par reproduction, c’est-k-dire comme un produit, le produit de dix par deux. En plaçant k côté de ce groupe-produit les neuf premiers nombres, nous obtenons une seconde série de groupes-sommes (vingt et un, vingt-deux, vingt-trois, vingt-quatre, vingtcinq.vingt-six, vingt-sept, vingt-huit, vingt-^ neuf), qui nous conduit k un second produit,
&U’produit de dix par trois. Sans passer par tous les nombres intermédiaires, nous pouvons former la série des groupes-produits (jusqu’k
« Une fois dix. Deux fois dix ou vingt (il faudrait duante
pour la régularité de la série). Trois fois dix eu trente. Quatre fois dix ou quarante. Cinq fois dix ou cinquante. Six fois dix ou soixante. Sept fois dix ou septante. Huit fois dix ou octanie. Neuf fois dix ou nonante. (Nous devons faire remarquer ici que notré langue n’a pas retenu, la série régulière des groupes-produits telle que le latin nous la donne ; nous disons soixante-dix au lieu de septante, quatre-vingts au lieu à’octante, et quatre-vingt-dix au lieu de nonante.)
Chacun des termes de l’échelle qui précède constitue un groupe dont nous avons une conception claire et distincte quoique médiate, parce que l’un des facteurs employés par la reproduction pour le former est le nombre dix, et l’autre facteur un nombre inférieur à dix. Il suffît maintenant de remplir l’intervalle entre deux termes quelconques de cette échelle, de la même façon que nous avons rempli l’intervalle entre dix et vingt, pour construire, k l’aide de la sommation et de la reproduction, tous les nombres qui existent depuis un jusqu’k dix fois dix ou cent
Dix fois dix ou cent nous offre h l’esprit l’idée d’un groupe d’espèce nouvelle, d’un groupe formé par graduation : c’est la seconde puissance de dix. De nouveau, avec le nombre cent et k l’aide de la reproduction, nous formerons l’échelle suivante : cent, deux cents, trois cents, quatre cents, jusqu’k un dernier terme dix feis cent ou mille, qui est la troisième puissance de dix ; et nous remplirons sans peine l’intervalle entre les termes de cette nouvelle échelle, en plaçant k côté de chacun d’eux successivement tous les nombres compris entre un et cent. Ensuite, et toujours par l’algorithme de la reproduction, nous formerons l’échelle des mille, depuis un mille jusqu’k neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille, en prenant pour facteurs, mille d’une part, et de l’autre successivement tous les nombres déjà formés et inférieurs k mille. Nous arriverons ainsi k mille mille ou mille fois mille, qui est la seconde puissance de mille. Enfin, la graduation nous donne l’échelle des puissances de mille ; mille, million, milliard ou billion, triîlion, quatrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, etc.
On voit comment, par la combinaison des trois modes simples de génération des nombres, des trois algorithmes primitifs, sommation, reproduction, graduation, on obtient un mode complexe de génération, un algorithme dérivé, algorithme sur lequel repose véritablement la possibilité de l’arithmétique. Cet algorithme dérivé prend le nom de numération. Tout système de numération est -un système conventionnel de combinaison des trois algorithmes primitifs. < On doit noter, dit M. Transon, la faute des auteurs qui débutent dans l’exposition de l’arithmétique par la numération. Sans doute, du moment qu’on a adopté un système particulier de numération, l’application des algorithmes primitifs reçoit de la nature de ce système ses règles spéciales, parce que désormais l’arithmétique a pour but de ramener k ce système particulier de numération, k cette loi déterminée de con- ’ struction tous les nombres qui lui sont proposés. Mais il n’en demeure pas moins vrai que l’esprit humain ne peut former aucun système de numération, s’il ne connaît préalablement les modes élémentaires et primitifs de la génération des nombres. »
Si les algorithmes primitifs nous donnent les éléments delà numération, la forme régulière, systématique que reçoit la combinaison de ces éléments dans la nomenclature numérale est une application des lois qui régissent la comparaison des nombres. Une intelligence complète de la numération est impossible sans la connaissance des progressions. Nous y trouvons, en effet, progressions arithmétiques et progressions géométriques, La suite naturelle des1 nombres fournit un premier exemple dé progression arithmétique dont la raison est l’unité. En voici d’autres exemples :
Dix, vingt, trente, quarante Raison dix.
Cent, deux cents, trois cents, quatre cents
Raison cent.
Mille, deux mille, trois mille, quatre mille..... Raison mille, etc.
Ces diverses progressions arithmétiques se trouvent entre les termes de progressions géométriques. Celles-ci sont au nombre de deux : la première, dont la raison est dix, est, en quelque sorte, enveloppée par la seconde dont la raison est mille :
Un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, million Raison dix.
Un mille, million, billion, triîlion Raison
— Numération écrite. S’il fut nécessaire, dès l’origine, d’avoir des noms pour les nombres, ’il ne fut pas moins nécessaire de combiner ces nombres entre eux, ou, comme on le dit, de calculer. Ce sont les nécessités du calcul qui ont fait inventer une numération écrite, c’est-k-dire une écriture numérale distincte de l’écriture ordinaire. Le système de
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numération que nous venons d’exposer obtient, par l’emploi de signes idéographiques, c’est-à-dire représentant directement les nombres et non les mots qui servent k tes dénommer, une perfection telle que le problème de la représentation numérique est résolu sans limites. Dix signes suffisent pour écrire tous les nombres possibles. D’abord on est convenu de donner aux neuf premiers nombres les caractères suivants :
I, S, 3, 4, 5,6, 7, 8,9, lesquels, évidemment, sont également propres k représenter les termes successifs de nos échelles de dizaines, centaines, mille, etc., pourvu qu’on ait soin de marquer d’une certaine façon l’échelle particulière- dont on veut représenter un terme. À cet effet, on a inventé un dixième caractère, le caractère 0 (zéro), lequel n’a par lui-même aucune valeur, mais sert uniquement k marquer l’ordre, et par lk même la grandeur convenue des unités exprimées par le chiffre qu’il accompagne. Ainsi, on a établi qu’un des neuf chiffres précédents, à la droite duquel un zéro serait placé, représentait le terme correspondant de l’échelle des dizaines ; qu’un chiffre avec deux zéros, représenterait des centaines ; avec trois zéros, des mille, etc. ; en un mot, qu’il représenterait des termes de dix en dix fois plus grands pour chaque nouveau zéro placé k sa droite. De cette façon, les neuf chiffres et le zéro suffisent pour écrire les termes de ces échelles successives, qui sont en quelque sorte la charpente de notre système de numération :
ordre. ordre.
1000 2000 3000 1000
qu’k savoir écrire les nt les intervalles dans toutes ces échelles. Rien de plus simple : si le chiffre 5, dans 50, représente des dizaines, c’est qu’il est suivi d’un zéro, c’est qu’il occupe le second rang vers la gauche ; mais il occuperait encore le second rang, et nous. pourrions continuer de lui attribuer la même valeur relative, quand même le caractère qui le suit k droite ne serait pas un zéro. Par conséquent, on pourra substituer successivement au zéro qui est dans 50 les neuf signes caractéristiques des neuf premiers nombres, et on représentera de la sorte tous les nombres qui sont entre cinquante et soixante. Et comblant ainsi tous les intervalles de l’échelle des dizaines, on reconnaîtra que la représentation des nombres compris entre neuf et cent exige seulement deux signes. On reconnaîtra également que la représentation des nombres compris entre quatre-vingt-dix-neuf et mille exige seulement (rois signes, etc., etc. En résunm, on pourra exprimer tous les nombres au moyen 42S neuf chiffres, 1, 2, 3, A, 5, 6, 7, 8, 9, pourvu qu’on attribue k ces caractères deux valeurs : l’une absolue, particulière k chacun d’eux ; l’autre relative, déterminée par la place qu’ils occuperont, le zéro n’ayant d’ailleurs d’autre objet que de maintenir cette place. Tel est l’ingénieux système d’écriture arithmétique, dont Laplace a pu dire : ■ La méthode d’exprimer tous les nombres avec des caractères, en leur donnant k la fois une valeur absolue et une valeur de position, nous paraît maintenant si simple que nous en sentons k peine le mérite ; mais cette simplicité même et l’extrême facilité qui en résulte pour les calculs, placent notre système d’ariihmétique au premier rang des inventions utiles. »
D’après ce qui précède. si l’on veut écrire en chiffres un nombre tel, par exemple, que six mille vingt-cinq, on remarquera que ce nombre est composé de cinq unités, deux dizaines, zéro centaine et six mine ; il sera donc exprimé par 6025. Réciproquement, pour énoncer un nombre qui est écrit en chiffres, il suffit de considérer que la numération écrite ne possède qu’une seule progression géométrique, dont la raison est dix, 1, 10, 100, 1000, 10000, etc., tandis que la numération parlée, comme nous l’avons dit plus haut, en a deux : an, dix, cent, mille, etc. ; un, mille, million, etc. ; en d’autres termes, qu’elle établit une série indéfinie de grandes classes d’unités qui sont de mille en mille fois plus grandes les unes que les autres, et dont chacune comprend trois ordres d’unités qui ne sont que de dix en dix fois plus grandes les unes que les autres. Pour cette raison, on partagera en tranches de trois chiffres (en allant de droite k gauche) le nombre écrit qu’il s’agit d’énoncer : la première tranche sera celle des unités ; la seconde, celle des mille ; la troisième, celle des millions, etc. ; et alors, commençant par la gauche, on énoncera-successivement chacune
particuliei
— Numération des fractions. Toute fraction se compose de deux termes, de deux nombres, dont l’un exprime le fractionnement de l’unité, indique en combien de parties égales elle est divisée, et dont l’autre indique combien nous
