QUAD,
nal, a-le — lat. quadriennales ; de quatuor, quatre). Antiq. Qui revient tous les quatre ans : Dans la suite ils devinrent quadriennaux comme les Jeux Olympiques. {Val. Pari BOt.)
QUADRIÉPINEUX, EUSE adj. (koua-dri-épi-neu, eu-ze — du préf. quadri, et de épineux). Entoin. Qui porte quatre épines.
QUADRIÉPOINTÉ, ÉE adj. (koua-dri-époin-té — du préf. quadri, et de épointé). Miner. Se dit d’un cristal dont chaque angle solide est remplacé par quatre facettes.
QUADRIÉRÉMÉ, ÉE àdj, (koua-dri-é-ré-mé — du préf. quadri, et da érème). Bot. Se dit du cétiobion composé de quatre érèmes.
QUADR1FABIÉ, ÉE (koua-dri-fa-ri-é — du lat. quadrifarius, partagé en quatre). Bot. Se dit d’une plante dont les feuilles sont disposées sur quatre rangs.
QUADRIFASCIÉ, ÉÊ adj. (koua-dri-fasssi-é — du préf. quadri, et de fasciè). Hist. nat. Qui porto quatre bandes colorées.
QUADRIFIDE adj. (koua-dri-fi-de — du préf. quadri, et du lat. findere, fendre). Bot. Qui a quatre divisions profondes : Feuille
QUADRIFIOB.
QUADR1FLORE adj. (koua-dri-fio-re — du préf. quadri, et du lat. flos, fleur). Bot. Qui renferme quatre (leurs : Calice quadriflorb. It Qui est composé de quatre fleurs : Capitule quadriflorb. Il Qui porte quatre fleurs,
QOADRIFOLIÉ, ÉE adj. (koua-drt-fo-li-édu prêt", quadri, et du lat. fotium, feuille). Bot. Qui a des feuilles disposées par groupes de quatre.
QUADRIFOLIOLÉ, ÉE adj. (koua-dri-foli-o-lé — du préf, quadri, et de folioté). Bot. Se dit des feuilles qui sont composées de quatre folioles.
QUADRIFORÉ, ÉE adj. (koua-dri-fo-rédu préf. quadri, et de foré), Hist. nat. Percé de quatre trous.
— s. m. pi. Crust. Famille de cirrhipèdes.
QUADRIFORME adj. (koua-dri-for-medu préf. quadri, et de forme). Miner. Se dit d’un cristal qui résulte de la combinaison de quatre formes cristallines.
QCADBIFltONS (Qui a quatre faces), Surnom donné pnr les Romains à Janus, considéré comme dieu de l’année, qui est divisée en quatre saisons.
QUADRJFURQUÉ, ÉE adj. (koua-dri-fur-ké — du préf. quadri, et du lat. furcatus, fourché). Hist. nat. Divisé en quatre branches.
QUADR1GA s. m. (koua-dri-ga — mot lat. qui signif. quadrige). Chir. Sorte de bandage employé pour maintenir, réduire les fractures ou les luxations des côtes, des vertèbres, des clavicules, du sternum.
QUADRIGAIRE s. m. (koua-dri-ghè-relat. quadrigarius ; de quadfiga, quadrige). Antiq. rom. Conducteur d’un quadrige.
QUADRIGARIUS (Quintus Claudius), historien romain, antérieur à Sisenna. Il vivait au Ier siècle av. J.-C, du temps de Svlla, et peut être considéré comme l’un des plus anciens de ceux qui écrivirent les annales da la république. Tite-Live s’en est approprié plusieurs passages, et Aulu-Gelle le cite fréquemment dans ses Nuits attiques. Havercamp a publié les fragments qui nous en restent à la suite de son édition de Salluste (Amsterdam, 1742). On les trouve également dans les Fragmenta historien d’Antoine-Augustin.
QUADRIGAT s. m, (koua-dri-gat — du lat. quadrigatus, marqué d un quadrige). Numism. Nom donné par les Romains à ceux de leurs deniers dont le revers portait pour type la figure d’un quadrige, c’est-à-dire d’un char à quatre chevaux.
QUADRIGE s. m. (koua-dri-je — lat. q’uadriga ; du préf. quadri, et de agere, conduire). Antiq. Char monté sur deux roues et attelé de quatre chevaux de front, dont l’usage passa des Jeux Olympiques aux autres jeux solennels de la Grèce et de l’Italie : La course du quadrige. Beaucoup de médailles portent des quadriges. (Acad.)
— Par Anal. Attelage composé de quatre animaux : Au lieu d’un attelage de cfteuaus efflanqués et harassés, j’avais sous les yeux un double quadeigk de bœufs robustes et ardents. (G. Sand.) — Encycl. Le quadrige était un ebar en forme de coquille, monté sur deux roues, avec •un timon fort court auquel étaient attelés de front quatre chevaux. L’attelage de front du quadrige constitue une différence essentielle avec 1 attelage à quatre tel qu’il se pratique aujourd’hui, le four in hand, où les chevaux sont attelés deux à deux. Attelés de front, les chevaux déploient leur vitesse en pleine liberté, tandis que de rang ils se gênent toujours un peu ; le quadrige devait donc avoir une supériorité sur l’attelage à quatre moderne. Quelquefois ces quatre chevaux étaient placés dans l’intérieur d’un brancard et maintenus par une barre transversale placée sur leur dos ; cette mode fut abandonnée pour le tunon, auquel on attacha les deux chevaux du centre, les deux autres à droite et à gauche n’âtant maintenus que par des traits de corde. Les courses de quadriges étaient un des pTftnris attraits des Jeux Olympiques et Né OUAD
méens en Grèce, des jeux du cirque à Rome. On en faisait figurer aussi, au pas, dans les solennités religieuses ou militaires ; le char du triomphe, à Rome, était un quadrige attelé de chevaux blancs.
Au dire des écrivains de l’antiquité, rien de plus léger, dans l’arène, que ces quadri ; ges emporté.* par leurs chevaux lancés à toute bride. Lorsque les poètes veulent donner l’idée d’une grande impétuosité, ils tirent fréquemment leurs comparaisons d’un quadrige lancé dans la lice. Ces courses de chars, que les Grecs et les Romains considéraient comme un des spectacles les plus attrayants, ne pouvaient manquer d’être périlleuses ; il fallait une habileté extrême pour maintenir en ligne et diriger à grande vitesse quatre chevaux ardents attelés à un char peu volumineux et d’un poids relativement minime, éviter les concurrents qui cherchaient soit à barrer l’arène, soit à se briser entre eux les roues de leurs chars par de brusques rencontres, tourner avec adresse autour des bornes et surmonter tous les obstacles réels ou factices du terrain. Dans le cirque de Rome, on vit parfois des courses auxquelles prenaient part successivement cent quadriges, partant de la barrière en groupes de vingt-cinq à la fois.
La forme des quadriges nous a été transmise par une foule de monuments antiques, surtout par des bas-reliefs et des médailles. Les fameux chevaux de bronze de Saint-Marc, qui figurèrent pendant le premier Empire sur l’arc de triomphe du Carrousel, étaient attelés à un char qui a été détruit ; c’est une œuvre antique de la plus grande valeur. Une faible imitation de ce quadrige a été exécutée sous la Restauration par Bosio, qui a placé dans le char une figure allégorique. Un médaillon de Marc-Aurële présente au revers un quadrige conduit par une figure allégorique et foulant aux pieds un homme renversé. Le cachet de Pline représentait un quadrige. Diverses médailles offrent des quadriges conduits par la Fortune, par la Victoire ou par Apollon ; c’est dans la forme d’un quadrige attelé de chevaux blancs que les anciens représentaient le char du Soleil. Parmi les monuments modernes, en dehors de l’imitation de Bosio, on peut encore citer le quadrige sculpté en bas-relief sur la façade du Louvre qui regarde lépont des Arts ; il est d’un effet grotesque. L’artiste, voulant représenter le quadrige de front, n’a trouvé d’autre moyen que de placer deux chevaux à droite et deux à gauche, tous les quatre lancés au galop et tirant en sens contraire un char qui a de bonnes raisons pour rester immobile. QUADRIGUTTÉ, ÉE adj, (koua-dri-gu-té
— du préf. quadri, et du lat. gutta, goutte). Hist. nat. Qui est marqué, de quatre petites taches rondes.
QUADRIHEXAGONAL, AIE adj, (kouadri-é-gza-go-nal, a-le — du préf. quadri, et de hexagonal), Miner. Se dit d’un cristal qui offre vingt-quatre faces.
QUADRUUGUÉ, ÉE adj. (koua-dri-ju-ghé
— du préf. quadri, et du lat. jugum, paire). Bot. Qui porte quatre paires de folioles opposées.
QUADRIJUMEAUX.adj. m. pi. (koua-driju-mô — du préf. quadri, et de jumeau). Anat. Se dit de quatre tubercules placés sur la moelle allongée. Il Muscles quadrijvmeaux, Quatre muscles de la région inférieure du corps.
QUADRILATÉRAL, ALE adj. (koua-dri-latè-ral, a-le — du préf. quadri, et de latéral). Qui a quatre côtés : Tout à côté on distinguait l’enceinte quadrilatérale de la foire SaintGermain. (V. Hugo.)
QUADRILATÈRE s. m. (koua-dri-la-tè-re
— du préf. quadri, et du lat. lalus, côté). Géom. Polygone qui a quatre côtés : Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère. Parmi les quadrilatères, on distingue le parallélogramme, le rectangle, le losange. (Arago.)
— Hist. Position stratégique que l’Autriche possédait dans le nord de l’Italie, et qui était commandée par quatre forteresses. Il Nom donné à une région située sur les bords du Rhin, et dont la disposition rappelle celle du quadrilatère italien.
— adj. Qui a quatre côtés : L’allaitement de Jupiter forme le sujet d’un bas-relief qui décore la troisième face de l’autel quadrilatère. (Val. Parisot.)
— s. m. pi. Crust. Tribu de la famille de crustacés décapodes brachyures.
— Encycl. Géom. Un quadrilatère est déterminé quand on en connaît trois côtés consécutifs et les deux angles qu’ils comprennent ; il faut donc cinq éléments pour déterminer un quadrilatère. Le quadrilatère régulier est le carré. Un quadrilatère dont
"Mes côtés opposés sont parallèles prend le nom de parallélogramme ; parmi les parallélogrammes, on distingue les rectangles dont les angles sont droits, et les losanges dont les côtés sont égaux. On nomme trapèze un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles.
On peut mesurer un quadrilatère en le décomposant en deux triangles par une diagonale et mesurant ces deux triangles ; mais il est plus simple d’employer la formule du
OUAD
produit des diagonales par la moitié du sinus de leur angle. En désignant par a et b les deux parties de l’une des deux diagonales, par c et d celles de l’autre et par À l’angle aigu qu’elles font entre elles, comme les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux, les mesures des quatre triangles, dans lesquels les diagonales décomposent le {tifl QUAD
485
drilatère, sont - ac sin A, — oc sin A,
2 2
— bd sin A et - ad sin A ; la somme donne 2 2 ’
— (ac -}- ad -f- bc + bd) sin A
-{a j- b) (c-f-d) sin A,
ce qui est bien la formule traduite plus haut. On voit ainsi que deux quadrilatères qui ont les mêmes diagonales également inclinées sont équivalents, de quelque manière que ces diagonales se coupent. La somme des carrés des quatre côtés d’un quadrilatère est égale à la somme des carrés des diagonales, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces diagonales. Lorsque la figure se transforme en un parallélogramme, les diagonales se coupant en leurs milieux, la somme des carrés des côtés est égale a la somme des carrés des diagonales.
Dans un quadrilatère circonscrit à un cercle, les sommes des côtés opposés sont égales ; il suffit pour le voir d’observer que les tangentes menées d’un même point à un cercle sont égales. Réciproquement, un quadrilatère dans lequel les sommes des côtés opposés sont égales est circonscriptible.
Les propriétés du quadrilatère inscrit sont plus remarquables : soit ABCD un quadrila-
des diagonales, ar par exemple, en fonction des quatre côtés, on prendra les expressions de son carré dans les deux triangles qu’elle détermine. Les deux angles qui lui sont opposés, étant supplémentaires, auront leurs cosinus égaux et de signes contraires ; on pourra donc éliminer ces angles ; ainsi, lu triangle BAC donne
x’ =s a’ + b* — tab cos B ; le triangle DAC donne de même
œ> = c -- d* — icd cos D, et comme cos B = — cos D, il en résulte (ab + ed)x’ = (a’ + b’)cd + (c5 4 d’)ab
= ae.ad + bc.bd 4- uc.be + ad.bd
-(ac + bd)(ad + bc) ; d’où
On trouverait de même
■ /(ac + bd)(ad + bc)m V ab + cd
; de même
=^ J(ac + bd)[ab+cd)
y
V ab + bc
il en résulte
xy = ac--bd ; c’est-à-dire que le rectangle des diagonales est égal a la somme des rectangles des côtés opposés. On tire aussi des mêmes formules
x ad--bc^ y ab--cd'
c’est-à-dire le rapport des deux diagonales d’un quadrilatère est le rapport des sommes des rectangles des côtés qui aboutissent aux extrémités de chacune d’elles. Si l’on élimine x entre les deux équations
- ’ = a’ + b’ — tab cos B
et
x’ = c* -f- d’ -f- tcd cos B, il vient
î(ai + cd) cos B = a’ + b* — c* — d1 ; d’où
a> L.0< c’ — d%,
cos B =
on tire de là 2(ab--cd)
1
tare inscriptible, soient a, b, c, d les quatre côtés consécutifs, x et y les diagonales, R le rayon du cercle : si l’on veut exprimer l’une
2 cos’ L B = 1 + cos B 2
sab--icd--a’ + b’ — c’ — d'
S(ab -f- cd)
= (a + 6)’ — « — d)>
2(a6 -f cd)
(a -f- o -f- c — d)(a -f- b + d — c)
2{ab + cd) ’
on trouve de même
2 sin’ -B m i — cos B 2
2ab -- zcd — a’ — 6’ + & + à’
~ 2(ab -f cd)
(C-H)’-(Q-D)’)
(Sab+cd) (c-- d + a ~ b)(c+ d + b — a) ~ i(ab + cd)
et, par suite,
tans- lB-t /« + d + a-b)« + d + b-a) =. l(p-0)(p-a) UUOS 8 M ~ V (a + 6 + c —d)(« + * + «« —«) V(P-d)(p-c)’
p désignant le demi-périmètre du quadrilatère. Ainsi la tangente de la moitié de l’un des angles est égale à la racine carrée du quotient du produit des différences entre le demi-périmètre et les côtés qui comprennent l’angle par le produit des différences^ entre le demi-périmètre et les deux autres côtés. Le sinus de l’angle B est donné par l’é tion
sin B = 2 sin - B cos - B
- *
lequa-
= foïp-aHp — Wp — t'). Z(ab--cd)
On déduit aisément de là la formule de la surface du quadrilatère- Cette surface est la somme de celles des deux triangles ABC et CDA, c’est-à-dire
(ai — cd) sin B ; 2
la substitution donne
S =/p(p - a)(p - 6)(p — c).
Comme la même surface serait exprimée par
— xy sin O,
en désignant par O l’angle des diagonales, il en résulte que
sinO=- = ^P(P-a){P-b)(P~e) xy ac + bd
— Art milit. On désigne sous le nom de Quadrilatère tantôt les quatre places fortes de Peschiera, Mantoue, Vérone et Legnano, situées dans le nord de l’Italie, au sortir des gorges du Tvrol, tantôt, et plus exactement, "espace compris entre ces quatre forteresses
et qui a si longtemps servi de base d’opérations aux empereurs d’Allemagne et d’Autriche contre la presqu’île italique. Le Quadrilatère est un trapézoïde dont le Mincio forme le côté occidental, presque en ligne droite de Peschiera à Mantoue, . et dont 1 Adige forme le côté oriental, dessinant une diagonale qui va de Vérone, au N, -0., jusqu’à Legnano, au S.-E. La plus petite largeur du Quadrilatère, de Peschiera à Vérone, est de 24 kilom., et la plus grande largeur, de Mantoue à Legnano, compte 35 kilom. ; cette largeur moyenne de 30 kilom. fait que deux armées ne peuvent se déployer dans le Quadrilatère sans se rencontrer. Deux routes qui se croisent à Castelnovo divisent le Quadrilatère en quatre parties presque égales : celle de Peschiera à Vérone, de l’O. À l’E., et celle de Valeggio à Ponton, qui continue la route du Tyrol à Mantoue, s’étendant du N. au S. Un chemin de fer ayant la direction d’une diagonale du Quadrilatère relie Vérone à Mantoue.
Le Quadrilatère est borné, au S., parle Pô ; au N. par le chemin de fer de Vérone à Milan, le lac de Garde, les Alpes Tyroliennes ; à l’O. par le Mincio ; à l’E. par l’Adige. Le Pô, dont les eaux, ainsi que celles de ses affluents, coulent presque toujours au-dessus des rives, encaissées dans des digues artificielles, comme sur la crête d’une muraille, 0. 415 kilom. de longueur, de 200 à 1,400 mètres de largeur, et une hauteur d’eau qui varie de 3 à 12 mètres ; il n’est guéable en aucun
fioint de son purcours. Le lac de Garde est e plus grand des lacs italiens : sa profondeur va jusqu’à 300 mètres, notamment entre Gagnano et Castetetto. Le Mincio est de beaucoup la ligne défensive la plus importante du Quadrilatère. Sans empiéter sur les articles consacrés
