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par la règle et la compas, plusieurs personnés se sont efforcées d’obtenir des règles pratiques pouvant servir aux dessinateurs. On déduit ces. règles des formules qui donnent sin x ou cos x en séries, en ne prenant de ces séries que deux ou trois termes. Voici quelques-unes de ces formules pratiques : 2«r = r(8 — corde 120») = r(s —/i), *
2iw=4i/17
corde 7° 30’ — 3 corde 15<> +
et l’erreur n’est plus que de.
r * 1001840000
Si, au lieu de la circonférence entière, on veut rectifier l’arc correspondant à un angle au centre représenté par 0, on aura pour cet arc
i(
8 corde corde 0
2
)•
— Quadrature du cercle. Parmi les problèmes de géométrie qui ont le plus occupé les esprits, aussi bien des personnes les plus étrangères aux considérations mathématiques que des savants les plus habiles dans la résolution des problèmes géométriques, il faut citer en première ligne le problème qui consiste & rechercher une figure plane terminée de toutes parts par des lignes droites, et dont la surface soit égale à celle d’un cercle donné. Comme on peut toujours trouver un carré équivalent a une pareille figure plane, la question se ramène à carrer un cercle, c’est-à-dire à trouver le côté d’un carré qui lui soit équivalent en surface.
Le cercle étant, après les figures rectilignes, celle des figures planes dont l’étude apparaît comme la plus simple, il n’y a rien d’étonnant à ce que de nombreux géomètres en aient recherché la mesure.
On s’aperçut bientôt que l’aire du cercle s’exprime par le produit obtenu en multipliant sa circonférence par la moitié da son rayon. Ce fut pourtant Àrchimède qui ramena le premier le problème à la recherche d’une ligne droite égale à la longueur de la circonférence d’un cercle donné.
Avant lui, le philosophe Anaxagore, jeté en prison pour avoir publié un écrit sur la véritable cause des éclipses, s’occupa de la quadrature du cercle ; on ne dit pas qu’il crut lavoir trouvée, mais il résulta sans doute de son travail la découverte de quelques nouvelles propriétés du cercle.
Hippocrate de Chio, devenu géomètre de commerçant qu’il avait été tout d’abord, fut amené à traiter le même sujet par la découverte d’un théorème qui l’a rendu célèbre dans l’antiquité, l’équivalence des lunules et des triangles sur lesquels elles sont construites (v. lunule). H crut ensuite pouvoir en déduire des surfaces polygonales équivalentes à des demi-cercles ; niais il est facile de se convaincre de l’erreur de son raisonnement. Le théorème des lunules n’a été démontré que pour la surface limitée par un demi-cercle d’une part et un quart de cercle de l’autre, mais on n’a jamais pu démontrer qu’une lumule terminée d’une part par un demi-cercle, de l’autre par le sixième d’une circonférence soit une surface carrable ; or, il avait raisonné sur une lunule de ce genre.
Quelques philosophes pythagoriciens, entre autres Sextus, s’adonnèrent a la recherche du même problème, et cette question était déjà tellement célèbre à l’époque d’Aristophane, que ce poëte, voulant ridiculiser l’astronome Méton, qui avait contrefait le fou pour ne pas servir dans la guerre de Sicile, introduit ce savant, si connu par la découverte du cycle de dix-neuf ans, dans la comédie des Oiseaux, sous son propre nom, et lui fait prétendre qu’il sait carrer le cercle.
Nous trouvons encore mentionnés dans Aristote, comme s’étant occupés de la quadrature du cercle, les deux géomètres Antiphon et Bryson. Le premier, à ce qu’il paraît devoir ressortir de sa démonstration, fit voir simplement que la circonférence renferme une aire dont l’expression est la somme des aires obtenues en inscrivant un polygone dans cette circonférence, puis de nouveaux polygones dans les segments interceptés, et ainsi de suite indéfiniment.
Les études qu’Archimède fit de sa spirale permettent de croire qu’il chercha longtemps une solution de la quadrature du cercle avant d’en donner la solution approchée, classique encore de nos jours. Quoi qu’il en soit, il fit voir par des procédés très-curieux que, si l représente le diamètre d’une circonférence, la circonférence a une longueur comprise entre 3 -)— et 3 -.’
La quadratrice de Dinostrate servit à Niccdème età Apollonius dans les efforts qu’ils firent pour carrer le cercle. Nicomède appelait cette courbe le quadrans, et Apollonius la définissait par son analogie avec la spirale. Il paraît, à ce qu’il ressort des écrits de Simplicius et d’Eutocius, qu’Apollonius avait poussé plus loin qu’Archimèdcj l’approximation dans le rapport qu’il donnait du diamètre a la circonférence. Bu reste, vers la même époque, Philon donnait la valeur de ce rapport à 1 cent-millième de sa valeur près.
Ces géomètres ne furent sans doute pas les seuls qui, dans l’antiquité, s’occupèrent d’établir la quadrature du cercle, et il y a lieu
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l’erreur n’est que de —, ce qui suffira généralement.
2*r = 4r(8 corde 15° —corde 30°) ;
1
l’erreur n’est plus alors que de
103180
corde 7° 30’ + 5 corde 15» -f corde 30°
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de croire que bien des chercheurs prétendaient avoir trouvé la solution de ce problème. Mais le peu de valeur de leurs raisonnements a fait sans doute qu’ils sont restés dans l’oubli.
Il est curieux que les Arabes, très-versés dans les mathématiques, aient donné peu d’importance à cette question, sinon, ce qui était la preuve d’un jugement éclairé, à la recherche d’une quadrature exacte, du moins, ce qui eût été la inarque d’esprits curieux et pratiques, à l’étude du rapport approché de la surface d’un cercle à son rayon. À peine nous reste-t-il, dans quelques catalogues arabes, la mention de rares écrits sur les trois fameux problèmes de la trisection de l’angle, de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. On peut cependant penser qu’ils n’eurent que des opinions grossièrement erronées sur ce sujet ; car, parmi ceux qui traitèrent cette question, il y eneut qui croyaient que, le rayon d’une circonférence étant 1, la circonférence était /îô", nombre trop fort puisqu’il approche de 3,162 et qu’Archimède avait donné 3, Ml.
Les savants du moyen âge comptent aussi des quadrateurs parmi eux. Nous citerons cet homme si singulier qui couronna une jeunesse de débauché par l’étude passionnée des sciences philosophiques et mathématiques, Rairoond Lulle. Il termina à Paris, en 1299, un ouvrage resté manuscrit, écrit en langue d’oc, sur la Quadrature et la triangulation du cercle.
Chargé par Nicolas V de mettre en ordre les œuvres d’Archimède, l’évêque Khrypffs, plus connu sous le nom de cardinal Cusa, composa, à la suite de cette mission (1450), un traité De complementis mathematicis, où ii émet quelques idées remarquables par leur hardiesse, vu l’époque à laquelle il écrivait, et où il admet la rotation de la terre autour du soleil. Dans ce traité, il introduisit quelques tentatives infructueuses de solution de la quadrature. Plusieurs procédés sont indiqués dans son livre, mais il commet dans chacun des erreurs graves ; c’est ainsi qu’il confond avec un arc de cercle la cycloïde décrite par un point d’une circonférence qui roule sans glisser sur une droite, et qu’ailleurs il propose d’ajouter au rayon d’un cercle le côté du carré inscrit, puis de tracer un cercle sur cette droite comme diamètre ; il prétend que le triangle équilatéral inscrit aura même surface que le cercle proposé.
Il est facile de se convaincre, ainsi que le fit voir Regiomontanus, qu’une pareille conclusion conduirait à un nombre sensiblement 22
plus grand que — pour le rapport d’une circonférence à son diamètre.
Un autre géomètre, plus connu par ses écrits très-étrunges, du reste, sur la philosophie, qui lui firent donner de son temps le surnom de noble philosophe, Charles de Bovelle, traita la, question de la quadrature dans un écrit intitulé : lntroductorium géometriewn, publié en 1507. Il y développe la même idée que le cardinal Cusa, celle d’une circonférence qui roule sans glisser sur une droite, et, par suite de raisonnements qui ne méritent pas d’être rapportés, arriveà cette conclusion que le rapport d’une circonférence à son diamètre est /lO ; de pareils résultats sont incompréhensibles, puisqu’il était admis, depuis plus de seize siècles, que ce rapport était compris entre de certaines limites posées par Archimède et restreintes depuis par Métius
(15S6).
Malgré l’étroite relation qu’il y avait déjà à cette époque entre l’étude de la philosophie et celle des sciences géométriques, on com. prend que certains esprits peu éclairés aient publié et donné comme décisives des solutions bizarres et dépourvues de raisonnements suivis de la quadrature ; il est pourtant plus curieux de voir figurer parmi ces écrivains des professeurs royaux des universités.
C’est ainsi que l’un d’eux, Oronce Finée, qui avait fait du reste à Bovelle l’honneur de traduire ses œuvres en français, donne, dans sa Proiomalhesis, une solution du problème, reposant, il est vrai, sur des erreurs mieux dissimulées que celles des solutions de ses prédécesseurs. Mais ce que l’on ne peut se résoudre à croire, c’est qu’il ait pu sérieusement soutenir dans son ouvrage, publié après sa mort et complété par un de ses amis, Mizauld de Montluçon, des résultats clairement contradictoires et auxquels il exprimait l’espoir de devoir un nom immortel dans la science.
Un autre des professeurs royaux, nommé Monantheuil, fit à son tour paraître, eu 1600, un traité sur la quadrature contenant une prétendue solution de la question.
Depuis les découvertes qu’elle avait occasionnées dans l’antiquité, la recherche de la
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quadrature n’avait plus servi qu’à mettre au jour des élucubrations sans valeur. Le traité publié sur ce même sujet par un certain Simon a Quercu en 1585 eut une plus réelle utilité. La prétendue découverte de l’auteur aboutissait, pour la valeur du rapport d’une circonférence à son diamètre, a un nombre compris dans les limites fixées par Archimède. C’est alors qu’Adrien Métius, pour réfuter cet écrivain, dut faire de nouvelles recherches sur la valeur de ce rapport et montra qu’il est a une très-faible fraction
355 près égal à —, rapport fort curieux et, en
réalité, très-approximatif.
Il n’y a pas jusqu’à Notre-Dame de Montes* à qui un chevalier espagnol de l’ordre qui portait ce nom, appelé Jaime Falcon, n’ait voulu faire honneur de la découverte de la quadrature, ne s’attribuant modestement que la publication d’une si importante solution. Son livre, assez agréable déjà à ce point de vue, est encore plus curieux par une pièce de vers préliminaire, dialogue dans lequel le cercle le remercie de l’avoir carré.
Le problème qui nous occupe était tellement célèbre à cette époque, que Charles-Quint promit cent mille écus à celui qui carrerait le cercle, et les États hollandais offrirent aussi une somme considérable à celui qui obtiendrait un tel résultat.
Il n’est donc pas étonnant de voir des hommes remarquables tenter la.solution du problème de la quadrature. C’est ainsi que le fameux Scaliger fit paraître un livre, publié en 1592 sous.le titre de : Nova cyclomeiria, dans lequel il affirme avoir trouvé le moyen de carrer le cercle. Les discussions qui en résultèrent entre lui et ses nombreux adversaires nous le présentent comme un obstiné d’une immense vanité et d’une ignorance complote dans les sciences mathématiques. Parmi ses rêfutateurs, nous citerons Clavius, Viète, Adrianus Romanus, Christman, etc. Scaliger répondit aigrement à ces géomètres, surtout k Clavius, et, plutôt que de reconnaître son erreur, il aima mieux en venir à nier les propositions fondamentales de la géométrie.
Parmi les raisonnements faux ou paralogismes, comme les appelait Aristote, qu’a engendrés l’étude de la quadrature, un des plus insoutenables, que son auteur a cru cependant devoir attribuer à une puissance supérieure, c’est celui de Thomas Géphyrander qui s’appuyait sur l’absurdité suivante : si deux
quantités sont dans un rapport — et qu’on
retranche le même nombre k ces deux quantités, les deux nouvelles quantités, obtenues
m sont encore dans le rapport —.
Un géomètre, qui commença d’abord par réformer tout Euclide sans faire grâce à dix-sept de ses propositipns célèbres, Cano de Molina, se signala par les erreurs tes plus grossières et les plus obstinément soutenues sur le problème de la quadrature. On pardonne toutefois à un homme d’avoir perdu la raison, mais ce qui est pius difficile de comprendre, c’est qu un autre géomètre ait donné une nouvelle édition des ouvrages de Molinensis Cano dans des Nova reperta géometrica, alors surtout que Cano reconnaissait dans la préface de son propre ouvrage que la divinité seule le faisait parler et qu’il n’avait auparavant jamais rien compris dans la géométrie.
La folie des quadrateurs parait d’ailleurs s’être souvent conciliée avec l’esprit d’illumination. Un négociant de La Rochelle, nommé Delaleu, lit paraître une solution delà quadrature et exposa que c’était la solution de la quadrature du temple céleste, tandis que la duplication du cube était celle de l’autel élémentaire, terrestre et aquatique, d’où découlait la conversion des Juifs, des idolâtres, et qu’ainsi la religion avait besoin de la manifestation de cette vérité qui lui avait été communiquée par révélation divine. Il se passa alors ce fait très-extraordinaire que certains esprits dévots crurent devoir se mêler de la question ; le supérieur de la maison professe des jésuites engagea même plusieurs géomètres à entrer en conférence avec Delaleu. L’un d’eux, Hardy, réfuta facilement le négociant ; mais celui-ci, soutenu par son teneur de livres et’ secondé par un écrivain écossais, ne cessa de disputer sur la matière et de prétendre avoir raison jusqu’à sa mort.
Christian Longomontanus, qui fut l’auxiliaire important de Tycho-Brahe et qui publia un ouvrage d’astronomie très-remarquable, qui de plus fut longtemps professeur do mathématiques à l’université de Copenhague, fit paraître en 1615 une solution prétendue de la quadrature. Il y arrivait à un rapport de la circonférence à son diamètre beaucoup trop élevé ; mais bien que des mathématiciens du premier ordre, Briggs, Gulden, Snellius, le lui eussent fait remarquer, il ne voulut jamais se rendre, s’irrita, publia de nouveaux, raisonnements aussi erronés et arriva bientôt à conclure que la surface du cercle est plus petite que celle du polygone inscrit de 256 côtés.
Citons encore, en France, un nommé Oudart qui donna une construction ingénieuse reposant sur ce que trois points étaient eu ligne droite qui ne le sont pas réellement, et, en Alleiuague, EUFeîibach, qui publiait
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deux volumes peu intéressants sur le même sujet à Nuremberg vers 1650.
Vers la même époque, un père jésuite flamand, remarquable a la fois par sa conduite durant la guerre de Trente ans et par ses écrits où l’on trouve une foule de vérités géométriques nouvelles et de découvertes importantes et curieuses, le Père Grégoire de Saint-Vincent, publia à Anvers (1647) un ouvrage sur la quadrature. VOpus géomelricum quadraturm circuli et sectionum coni fut le résumé des recherches qui ont occupé toute la vie du Père Saint-Vincent. On y trouve des théorèmes fort curieux sur le cercle, l’hyperbole, la parabole et des aperçus intéressants sur la spirale et les volumes des onglets. On admira toutes les belles idées contenues dans ce livre, mais on ne laissa pas sans réplique la conclusion mathématique que le père Grégoire de Saint-Vincent avait tirée de toutes ses découvertes. On s’empressa d’examiner l’œuvre de ce géomètre que Leibniz et Huyghens n’ont pas craint de placer à côté de Fermât et de Descartes ; et il ne fut pas difficile de démontrer la fausseté de ses raisonnements. Descartes, le premier, en fit voir l’erreur au Père Mersenne qui publia un livra pour combattre les conclusions du Père Saint-Vincent. La polémique prit bientôt une grande extension : du côté de Saint-Vincent se rangèrent Kinner, Sarassa, Aynscom ; mais ils furent vaincus par la logique serrée de Huyghens, qui attaqua la quadrature du Père jésuite dans un petit traité, modèle de netteté et de précision. Du reste, si le géomètre flamand ne s’était pas trompé dans ses raisonnements, il n’eût fait que permettre de ramener la quadrature d’un cercle à un problème de logarithmes, c’est-à-dire à la quadrature d’une hyperbole.
Huyghens publia, en outre, à ce sujet divers théorèmes nouveaux et moyens de quadrature approchés fort curieux.
Vers la même époque, un écrivain célèbre, dépité de voir combattre victorieusement par les savants de son temps les solutions supposées qu’il avait données de la quadrature du cercle et de la trisection de l’angle, en prit occasion d’écrire contre les géomètres et la géométrie elle-même. C’est Hobbes le philosophe ; il injuria surtout Wallis, qui avait montré le ridicule de toutes ses prétendues découvertes.
Un nouveau livre parut en 1677 sur la"quadrature. Bertrand La Coste, de qui était l’ouvrage, ayant vu ses écrits accueillis comme ils le méritaient par l’Académie des sciences, publia une série d’opuscules contre cette compagnie ; les plus bizarres sont le Itéueillematin, pour réveiller les académiciens, et la ilfori aux académiciens ou Démonstration de la trisection de l’angle.
Nous passerons sous silence les Rêveries sur la quadrature du cercle d’un certain Jean Bachon, pour mentionner une Démonstration du divin théorème de ta quadrature et des rapports de ce théorème avec la vision d’Ezéchiel et l’Apocalypse de saint Jean.
Après les écrits d’un jésuite anglais qui reconnut son erreur et d’un Hollandais qui croyait avoir résolu du même coup la quadrature, la trisection et le mouvement perpétuel, nous voyons un géomètre, appelé Mathulon, donner une nouvelle solution et perdre, par procès, 1,000 écus promis par lui à celui qui lui démontrerait qu’il se trompait ; ils furent gagnés par Nicole, encore fort jeune, et donnés par lui aux pauvres de Lyon.
C’est encore dans l'Apocalypse et au moyen du fameux nombre 666 qu’un Anglais, Henri Sullamar, assura, en 1750, avoir donné la solution du problème. Mais il trouva bientôt un rival en France, et un officier aux gardes, le chevalier de Causans, prétendit, en 1753, donner par la quadrature une explication du péché originel et de !a Trinité. Il offrit de déposer chez un notaire jusqu’à300,000 francs et déposa effectivement 10,000 francs, qui devaient être remis à celui qui montrerait une erreur dans sa conclusion. Une jeune demoiselle actionna le chevalier devaut le Châtelet en réclamant les 10,000 francs. Le roi (lut intervenir dans le procès et juger qu’un homme qui avait ainsi perdu l’esprit ne devait pas être responsable de ses folies.
Bien d’autres écrivains essayèrent de persuader aux géomètres du xvme siècle qu’ils avaient découvert la quadrature du cercle, Citons Clerget, Tondu de Nangis, Vaussen- ■ ville et Tardi.
Enfin, en 1775, l’Académie des sciences, fatiguée de recevoir de nombreux écrits d’aussi peu de valeur sur la quadrature du cercle, se résolut à ne plus jamais examiner aucune solution de ce problème ainsi que des suivants : la trisection de l’angle, la duplicature du cube et le mouvement perpétuel.
Condorcet, secrétaire de l Académie, exposa les motifs de cette résolution dans un article inséré au volume de l’année 1775 dans Ytiistoire de l’Académie des sciences.
11 y rappelle les différentes démonstrations qui ont été données de l’impossibilité de la quadrature du cercle. Toutefois, il considère comme impraticable théoriquement, non la quadrature du cercle tout entier, mais seulement celle d’un secteur défini quelconque ; il fait seulement remarquer qu’aucun de ceux qui avaient envoyé à l’Académie des solutions de ce problème n’en connaissait la nature ni les difficultés, ignorant même les méthodes qui auraient pu les conduire à une
