maximum de
tend vers zéro d’une manière quelconque[1].
Le nombre
ainsi obtenu s’appelle l’intégrale définie de la fonction
dans l’intervalle
. Depuis Fourier, on le représente par la notation
.
Ce symbole n’a jusqu’à présent de sens que dans les intervalles positifs
, (
) ; par définition, on pose
![{\displaystyle \int _{a}^{\mathrm {X} }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\mathrm {X} }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a0683deec3f8b5348acc099c03157d2e4edc02)
.
Il est évident que l’on a, quels que soient
,
,
,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}+\int _{b}^{c}+\int _{c}^{a}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dfb4def47238ca3020d973bcd19345f31d3606)
.
Remarquons encore que si
et
sont les limites supérieure et inférieure de
dans
,
est comprise entre
et
. La fonction continue
prenant toutes les valeurs entre
et
, y compris les valeurs
et
, on peut écrire
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d90f2dd155adfeda12398e0f8c818f420e1e5bd)
,
étant compris entre
et
[2] ; c’est le théorème des accroissements finis.
Le nombre
étant maintenant défini d’une manière précise, on démontre l’existence de la fonction primitive de
sans difficulté. En effet, on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} (x_{0}+h)-S(x_{0})}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x)\,\mathrm {d} x=f(x_{0}+\theta h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba4c040ca4426068f5545c84518eeaba80d9680)
,
égalité qui démontre que la fonction
est continue et a pour dérivée
.
- ↑ Voir, par exemple, les deux Ouvrages cités page 2 ou le Tome I du Traité d’Analyse de M. Picard.
- ↑ Cette démonstration n’exclut pas les égalités
,
. Dans certains cas il est bon de prouver qu’on peut choisir
différent de
et
; la démonstration est immédiate.