La propriété est démontrée. Dans le cas où
, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d’un intervalle est continue dans cet intervalle[1].
La réciproque de notre propriété n’est pas vraie. Soit une fonction égale à −1 pour
négatif, à +1 pour
positif, nulle pour
nul. Son oscillation pour
est 2 et, cependant, si l’on emploie le point de division
, la fonction a une oscillation seulement égale à 1 dans chacun des deux intervalles obtenus.
Nous allons maintenant définir l’oscillation moyenne d’une fonction bornée
définie dans un intervalle fini
. Partageons
en intervalles partiels
. Soit
l’oscillation de
dans l’intervalle
, les extrémités de
étant ou non considérées comme faisant partie de l’intervalle. Et formons la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\delta _{1}\omega _{1}+\delta _{2}\omega _{2}+\ldots +\delta _{n}\omega _{n}}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beed9c2cd2e6f5871cb17de55ba0646169f1f86d)
.
Si
est l’oscillation de
dans
,
étant au plus égaux à
,
est au plus égal à
. Si donc nous divisons
en intervalles partiels
, auxquels correspondent les oscillations
, on a
![{\displaystyle \delta _{i}\omega _{i}\geqq \sum _{j=1}^{j=p_{i}}\delta _{i}^{j}\omega _{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a59114cb21317d8106a795ac715e9fbdbf48c0e)
.
En subdivisant les intervalles
on remplace donc
par un nombre plus petit.
Considérons deux séries de divisions de
en intervalles partiels ; aux divisions de la première série correspondent les nombres
; à celles de la seconde les nombres
. Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la
ième division tend vers zéro avec
[2] ; dans ces conditions nous allons voir que les
et
ont une même limite.
- ↑ C’est cette propriété que l’on énonce : la continuité est uniforme. On exprime par là que la quantité
peut être choisie uniformément dans l’intervalle considéré, c’est-à-dire indépendamment de la variable
.
- ↑ Les points de division employés dans la
ième division ne sont pas nécessai-