valles
,
puis les points intérieurs aux intervalles
,
,
,
, …. On divise donc toujours chaque intervalle restant en trois parties égales et l’on enlève la partie du milieu. Après
de ces opérations, il reste
intervalles ; ces
intervalles peuvent servir à enfermer[1] les points de
; or, ils ont une longueur totale
,
est donc un groupe intégrable. Cette construction de
montre de plus qu’il est parfait, donc il a la puissance du continu[2].
Il est évident que l’ensemble formé par la réunion des points de deux groupes intégrables est un groupe intégrable.
Voici maintenant l’énoncé de du Bois-Reymond :
Pour qu’une fonction bornée soit intégrable, il faut et il suffit que, quel que soit
, les points où l’oscillation est supérieure à
forment un groupe intégrable.
Supposons
intégrable, alors on peut diviser
en intervalles partiels tels que ceux dans lesquels l’oscillation est supérieure à
aient une longueur totale inférieure à
. Un point où l’oscillation est supérieure à
ne peut être contenu dans un intervalle où l’oscillation n’est pas supérieure à
, donc un tel point est nécessairement l’un des points qui ont servi à la division de
, ou bien il est dans les intervalles de longueur
. Les points de division étant en nombre fini, les points où l’oscillation est supérieure à
peuvent être enfermés dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale
, et, comme
est quelconque, ils forment un groupe intégrable.
Réciproquement, nous supposons que les points d’oscillation plus grande que
forment un groupe intégrable. On peut donc les enfermer dans un nombre fini d’intervalles de longueur totale
. Employons ces intervalles
à la division de
et soient
les
- ↑ Enfermer est pris ici au sens large.
- ↑ On peut dire aussi que
a la puissance du continu parce qu’il dépend d’une infinité dénombrable de constantes entières
.