De ce théorème il résulte que, si le module de
est inférieur à
, l’intégrale de
est en module inférieure à
.
Ceci posé, soit une fonction
somme d’une série uniformément convergente de fonctions intégrables
![{\displaystyle f=u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe81434d0d8f118dd703c1f9266bc1c4cef94f4)
.
Soient
la somme des
premiers termes,
le reste correspondant,
,
,
,
les intégrales de
,
,
,
.
est la somme des
premiers termes de la série
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2}+\ldots +\mathrm {U} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd70128b9250a398a3af46bf60b62d94be31daa8)
,
d’après le théorème sur l’intégration d’une somme. Ce même théorème montre que
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {S} _{n}+\mathrm {R} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfb45bb9d127b78683ff015e4b070e0623681b2)
.
Or, dès que
est plus grand que
,
est en module inférieur à
, donc
est en module inférieur à
. Dès que
est plus grand que
,
est inférieur à
. La série
est donc convergente et de somme
.
Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est intégrable terme à terme.
Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où l’intervalle
est un intervalle positif (
), puisque l’intégrale n’a été définie que dans ce cas. On complète la définition comme précédemment.
L’intégrale dans
se notant toujours
, la définition complémentaire s’exprime par l’égalité
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b99b16c622f3e14333c9bf29862c3f18355c9c6)
.
Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles négatifs.
J’ajoute qu’on vérifie immédiatement que
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe1c747f262357e912dd5db981821ef05c97255)
.