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Remarquons que $\mathrm {E} (f)$ est mesurable J quand $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ le sont et que, inversement, si $\mathrm {E} (f)$ est mesurable J, $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ le sont aussi. Ainsi, notre définition géométrique de l’intégrale s’applique lorsque $\mathrm {E}$ est mesurable J ; mais, dans ce cas, et dans ce cas seulement, ${\overline {\mathrm {I} }}$ et ${\underline {\mathrm {I} }}$ sont égaux, c’est-à-dire que les intégrales ${\overline {\int f\,\mathrm {d} x}}$ et ${\underline {\int f\,\mathrm {d} x}}$ sont égales, donc :

Pour qu’une fonction bornée $f$ soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il suffit que $\mathrm {E} (f)$ soit mesurable J superficiellement ; dans ce cas, l’on a

$\mathrm {I} =\int f\,\mathrm {d} x$.

La définition géométrique de l’intégrale est entièrement équivalente à la définition analytique donnée par Riemann.