Lorsqu’il s’agit d’une fonction continue, le nombre
, comme le nombre
, tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum
de la longueur des intervalles contigus à
tend vers zéro.
La série
étant convergente, la série
, étendue à tous les intervalles contigus à
, est absolument convergente. On peut donc parler de la somme de ses termes positifs et de la somme de ses termes négatifs, ces deux sommes peuvent servir à définir
et
quand
.
Il est important de remarquer qu’on ne peut pas remplacer l’ensemble réductible
par un ensemble non dense quelconque sans que certaines des propriétés précédentes cessent d’être vraies. Soit, en effet, la fonction
définie par
![{\displaystyle 2\xi (x)={\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{2}}{2^{2}}}+{\frac {a_{3}}{2^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8d9dec89496fa105ba95ce4d454978fdd31d99)
,
quand
![{\displaystyle x={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+{\frac {a_{3}}{3^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f099081c4b5ac3981a102bf7da9a1085d4fb26)
,
où les
sont égaux à 0 ou à 2.
appartient alors à l’ensemble
. On vérifie immédiatement que, pour les deux extrémités d’un intervalle contigu à
,
prend la même valeur ; nous assujettissons
à rester constante dans un tel intervalle.
est maintenant partout définie ; c’est une fonction non décroissante et, cependant, on trouvera zéro pour
, si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de
.
Je terminerai en donnant quelques exemples des diverses particularités qui ont été signalées.
La fonction
est égale à
pour
, donc, si l’on emploie ces valeurs de
pour calculer
dans l’intervalle
, on trouve
![{\displaystyle u={\frac {1}{\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+{\frac {2}{2\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+{\frac {3}{3\mathrm {K} \pi -{\frac {\pi }{2}}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6427c7659af5449ad89e0551529da22b188be974)
,
et la fonction est à variation non bornée bien qu’elle soit continue. Pour une fonction continue nulle pour
négatif, égale à ![{\displaystyle x\sin {\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df86b1605bca61aaf2e12ff24557e8fc197ef99)