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intégrales indéfinies. Les fonctions à nombres dérivés bornés sont celles pour lesquelles on a toujours

$\left\vert r[f(x),\alpha ,\beta ]\right\vert <\mathrm {M}$,

où $\mathrm {M}$ est un nombre fixe. Cette inégalité, connue sous le nom de condition de Lipschitz, intervient dans presque tous les raisonnements sur l’existence des solutions des équations différentielles. Ceci montre l’importance pratique des fonctions à nombres dérivés bornés.

Nous reviendrons au Chapitre VII sur l’étude de ces fonctions ; pour le moment il suffira d’en signaler une propriété immédiate :

Une fonction à nombres dérivés bornés et inférieurs en valeur absolue à $\mathrm {M}$ est à variation bornée, sa variation totale étant au plus $\mathrm {M} \delta$ dans un intervalle d’étendue $\delta$.

Soit maintenant une courbe rectifiable

$x=x(t)$,$y=y(t)$,$z=z(t)$,

définie dans ${(a,b)}$, et soit $s(t)$ son arc de $a$ à $t$.

L’équation ${s(t)=s}$ peut être résolue en $t$ quand $s$ est dans l’intervalle ${[0,s(b)]}$ et n’admet qu’une solution, sauf le cas où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ seraient constantes à la fois dans un intervalle. Sauf dans ce cas, $t(s)$ est une fonction croissante bien déterminée,

$x=x[t(s)]$,$y=y[t(s)]$,$z=z[t(s)]$

représentent la courbe donnée et les fonctions de $s$ sont des fonctions continues à nombres dérivés au plus égaux à 1.

L’étude des courbes rectifiables, et par suite celle des fonctions à variation bornée, est donc intimement liée à l’étude des fonctions à nombres dérivés bornés. Nous aurons l’occasion de nous servir de cette remarque.

Il existe d’ailleurs des fonctions continues à variation bornée et à nombres dérivés non bornés, la fonction ${x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ en est un exemple.