tient à un intervalle contigu à , soit celle des extrémités de cet intervalle qui est dans ; on a évidemment
![{\displaystyle \left\vert r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\right\vert =\left\vert {\frac {\mathrm {F} (x_{0}+h)}{h}}\right\vert \leqq {\frac {(x_{0}+h-\alpha )^{2}}{|h|}}\leqq |h|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f302a101812ade2515e3c404b8205d96148cca99)
donc a une dérivée nulle en tous les points de .
La dérivée de est bornée, car la dérivée de , qui est nulle pour , et qui, pour différent de zéro, est égale à
est bornée. Cependant cette dérivée n’est pas intégrable, au sens de Riemann, car en tous les points de le maximum de est +1 et son minimum est −1, puisqu’il en est ainsi au point pour la fonction ; or , par hypothèse, n’est pas un groupe intégrable.
Par une application convenable du principe de la condensation des singularités, on obtient une fonction dérivée qui n’est intégrable dans aucun intervalle si petit qu’il soit[1].
La définition de Duhamel s’applique donc à des fonctions bornées auxquelles ne s’applique pas la définition de Riemann ; de plus, la définition de Duhamel s’applique à des fonctions non bornées, car il existe des dérivées non bornées, mais toujours finies, la dérivée de , par exemple.
À la définition de Duhamel et Serret on peut appliquer la généralisation employée par Cauchy et Dirichlet. Je ne m’occuperai pas de cette généralisation ni, pour le moment du moins, de la suivante, qui contient comme cas particulier la définition de Riemann et celle de Duhamel pour les fonctions bornées : Une fonction bornée est dite sommable, s’il existe une fonction à nombres dérivés bornés telle que admette pour dérivée, sauf pour un ensemble de valeurs de de mesure
- ↑ M. Köpke a construit des fonctions dérivables à dérivées bornées s’annulant dans tout intervalle. Ces dérivées ne sont évidemment pas intégrables.
