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CHAPITRE VII.

4. Si l’on a ${f\geqq 0}$ et ${b>a}$ , on a aussi

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\geqq 0

;

5. On a

\int _{0}^{1}1\times \mathrm {d} x=1

;

6. Si, quand l’indice $n$ croit, $f_{n}(x)$ tend en croissant vers $f(x)$ , l’intégrale de $f_{n}(x)$ tend vers celle de $f(x)$ .

La signification, la nécessité et les conséquences des cinq premières conditions de ce problème d’intégration sont à peu près évidentes ; nous ne nous y étendrons pas.

La condition 6 a une place à part. Elle n’a ni le même caractère de simplicité que les cinq premières, ni le même caractère de nécessité^[1]. De plus, tandis qu’il est facile de construire des nombres satisfaisant à quatre quelconques des cinq premières conditions, sans satisfaire à toutes les cinq, ce qui montre que ces cinq conditions sont indépendantes, on ne sait pas si les six conditions du problème d’intégration sont indépendantes ou non^[2].

En énonçant les six conditions du problème d’intégration, nous définissons l’intégrale. Cette définition appartient à la classe de celles que l’on peut appeler descriptives ; dans ces définitions, on énonce des propriétés caractéristiques de l’être que l’on veut définir. Dans les définitions constructives, on énonce quelles

↑ Elle paraît si peu nécessaire qu’elle est généralement inconnue, même pour le cas où $f$ et $f_{n}$ sont intégrables au sens de Riemann ou mêmes continues. Il se pourrait d’ailleurs que certaines de ses conséquences aient, au contraire, un très grand caractère de nécessité. C’est pour préparer l’introduction de cette condition 6 que je me suis occupé aux pages 94 et 103 de l’intégration et de la recherche de la fonction primitive de la limite d’une suite croissante de fonctions.
↑ La réponse à cette question importe peu pour les applications, mais elle présente un intérêt au point de vue des principes. S’il était démontré que cette sixième condition est indépendante des cinq autres, il y aurait lieu de chercher à la remplacer par une sixième plus simple et surtout de rechercher si, parmi les systèmes de nombres qui satisfont seulement aux cinq premières conditions, il n’y en a pas d’aussi utiles que celui qui va être étudié.
Peu de temps avant cette seconde édition, M. St. Banach a étudié la question qui avait été ainsi posée dans la première édition, et a conclu à l’indépendance des six conditions du problème d’intégration (Fund. Math., t. IV).

[1] Elle paraît si peu nécessaire qu’elle est généralement inconnue, même pour le cas où $f$ et $f_{n}$ sont intégrables au sens de Riemann ou mêmes continues. Il se pourrait d’ailleurs que certaines de ses conséquences aient, au contraire, un très grand caractère de nécessité. C’est pour préparer l’introduction de cette condition 6 que je me suis occupé aux pages 94 et 103 de l’intégration et de la recherche de la fonction primitive de la limite d’une suite croissante de fonctions.

[2] La réponse à cette question importe peu pour les applications, mais elle présente un intérêt au point de vue des principes. S’il était démontré que cette sixième condition est indépendante des cinq autres, il y aurait lieu de chercher à la remplacer par une sixième plus simple et surtout de rechercher si, parmi les systèmes de nombres qui satisfont seulement aux cinq premières conditions, il n’y en a pas d’aussi utiles que celui qui va être étudié.
Peu de temps avant cette seconde édition, M. St. Banach a étudié la question qui avait été ainsi posée dans la première édition, et a conclu à l’indépendance des six conditions du problème d’intégration (Fund. Math., t. IV).

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