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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
Lorsque nous saurons intégrer les fonctions qui ne prennent que les valeurs 0 et 1, nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des et , lesquelles comprennent l’intégrale de (conditions 3, 4)[1].
De plus, et diffèrent de de au plus, donc tendent uniformément vers quand tend vers zéro ; il est facile d’en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de .
En effet, si les limites inférieure et supérieure de sont et , d’après 3 et 4, est comprise entre
et
;
faisons maintenant
,
on a
,
donc l’intégrale de est inférieure en module à , quantité qui tend vers zéro avec .
Pour savoir calculer l’intégrale d’une fonction quelconque, il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions qui ne prennent que les valeurs 0 et 1.
Il faut remarquer que nous avons démontré incidemment la possibilité d’intégrer terme à terme les séries uniformément convergentes, si le problème d’intégration est possible.
La quantité qui figure dans la démonstration précédente se calcule facilement ; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu’elle est égale à .
Si la fonction est comprise entre et , son intégrale dans est comprise entre et ; c’est le théorème de la moyenne.
Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé en intervalles partiels, nous trouvons que est comprise entre les sommes qui servent à définir les intégrales par défaut et
- ↑ On suppose ici, pour quelques instants, le problème d’intégration possible.