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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
C’est surtout pour le calcul effectif des intégrales de fonctions données par des développements en série qu’il importe de connaître des cas d’intégration terme à terme. M. Vitali a écrit sur ce sujet un très important Mémoire que je ne puis ici que signaler[1] ; je me borne à donner un cas d’intégration un peu plus étendu que les précédents :
Soit la somme de la série. L’inégalité évidente
montre que est sommable. Ceci étant, partageons l’intervalle ou l’ensemble dans lequel on intègre en trois ensembles mesurables sans points communs deux à deux : le premier de ces ensembles est formé des points en lesquels surpasse un nombre , le second est formé des points n’appartenant pas à et en lesquels le reste est en module inférieur à , les points restants forment . On a
supposons choisi de façon que soit inférieur à :
Or, quand augmente indéfiniment, tend vers zéro, car l’ensemble est contenu dans tous ceux d’indice moindre et il n’y a pas de points communs à tous les puisqu’en un tel point
- ↑ Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. 23, 1907.