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CHAPITRE VII. — L’INTÉGRALE DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
de là on déduit
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![{\displaystyle m_{s,i}(\mathrm {E} )\geqq (l_{i}-l_{i-1})\,m_{l}[\mathrm {E} (\varphi \geqq l_{i})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0072bfd9784e3f0ba7cf50982d9ec1e9a4b2d0a)
En faisant la somme de toutes les inégalités analogues, on a
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![{\displaystyle m_{s,i}[\mathrm {E} _{1}(\varphi )]\geqq {\textstyle \sum }l_{i}\,m_{l}[\mathrm {E} (l_{i}\leqq \varphi <l_{i+1})]=\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e746226090cb58677346ce2db3eb2e80f6ae26c)
En raisonnant d’une façon analogue, on voit que
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![{\displaystyle m_{s,e}[\mathrm {E} _{1}(\varphi )]\leqq {\textstyle \sum }l_{i}\,m_{l}[\mathrm {E} (l_{i-1}<\varphi \leqq l_{i})]=\Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7f7bbde6e50b362e33e9622724fc25be16d2dc)
Nous avons démontré que les deux quantités et tendent vers une même limite quand le maximum de tend vers zéro, donc est mesurable. Les valeurs approchées et trouvées pour la mesure de nous conduisent à la définition de l’intégrale déjà donnée. Il y a donc identité entre la définition géométrique actuelle et la définition constructive précédemment étudiée[1].
- ↑ Nous pouvons dire que le raisonnement du texte fournit une expression de la mesure superficielle à partir de mesures linéaires. Convenablement généralisées, ces considérations donnent la formule qui permet de remplacer le calcul d’une intégrale multiple par des calculs successifs d’intégrales simples.
