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CHAPITRE VIII.
donc
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2acd006c89be71f864322d74d58948155c4fcd)
et, puisque
![{\displaystyle \mathrm {P(E)} =\mathrm {P} (\mathrm {E} -\mathrm {E} ^{p})+\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb250e0ee4a2493a15a1cbd3d1eadf8afd1da34)
on a
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p})=\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c0e8591a65a2c3a62d7fa7288bd2e8fe0fd6fa)
;
de plus
.
D’une façon analogue, on formera
tel que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fe63aa27975421264823ccdf20edc42b072134)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b138db8063d7c05bbc481208a3a09375b2dd5fb0)
;
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} ^{n})=-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51f83629db431593d7d2e6509f335497d8883e7)
.
Soit
l’ensemble des points communs à
et à
, des deux relations
![{\displaystyle \mathrm {P} (e)\leqq \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272bcebfb51f57cc1f8310000f58fbc06b8dc215)
,
![{\displaystyle \mathrm {N} (e)\leqq \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a3f0cede0266cee0d54187163bdede0ce62773)
,
il résulte que les deux nombres non négatifs
et
sont nuls ; a fortiori
est nulle. Si donc on retranche
de
on ne modifie ni
, ni
, ni
.
Nous pouvons donc supposer que les deux ensembles
et
sont sans point commun. De même on verrait que
,
, et
sont nulles pour l’ensemble des points de
n’appartenant ni à
ni à
, de sorte que cet ensemble peut être ajouté à
ou à
sans que nos relations soient changées. Finalement on voit que l’on peut supposer
divisé en deux ensembles
et
sans point commun et tels que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Psi (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&\mathrm {P} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p})&{}={}&0,\\\Psi (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&-\mathrm {N} (\mathrm {E} ^{p}),&\qquad \mathrm {P} (\mathrm {E} ^{n})&{}={}&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4367d8900ed330471fbc6c98a28b720bc9c9b52)
Mais
![{\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {E} ^{p}+\mathrm {E} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084e49abe6ae637320ddf270ae55b3edc2638b03)
,
donc on a
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\Psi (\mathrm {E} ^{p})+\Psi (\mathrm {E} ^{n})=\mathrm {P(E)-N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac30957cfd8f65372463f4b383481275a972218)
.
Il est prouvé que
est à variation bornée.
Si à
et
on ajoute une même fonction complètement additive et non négative
on obtient
![{\displaystyle \mathrm {P_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {P(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45054b9c8f951ce1332032f51f3c304020716746)
,
![{\displaystyle \mathrm {N_{1}(E)} =\lambda (\mathrm {E} )+\mathrm {N(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a19d66251f20d458a9c89e348333bb2cbc36ef3)
;
![{\displaystyle \Psi (\mathrm {E} )=\mathrm {P_{1}(E)-N_{1}(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8755505108d3c7909354aaa8d056494fbdf160e)
.
On peut donc mettre une fonction à variation bornée sous la forme d’une différence de deux fonctions non négatives d’une infinité de manières ; le procédé que nous venons d’indiquer est d’ailleurs le