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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
dans lesquelles désigne une constante. Ces deux formules sont équivalentes pour tous les points qui sont points de continuité pour ; pour les points de discontinuité elles donnent des valeurs différentes pour . La définition de comporte donc un certain arbitraire. Nous allons adopter la première formule ; le second choix donnerait des résultats qui se déduiraient de suite de ceux que nous obtiendrons.
On a
,
étant supposé inférieur à .
Si donc on prend arbitrairement , , … tels que
,
on aura
.
Et comme le second membre est au plus égal à , la fonction est à variation bornée.
Dans la formule de définition de , faisons tendre vers en décroissant, c’est-à-dire donnons à une suite de valeurs , , … décroissant vers ; on a
et ainsi de suite, d’où
:
la fonction est donc continue à droite.
Faisant de même tendre en croissant, on a
la fonction est discontinue à gauche aux points où est discontinue et en ces points seulement.