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CHAPITRE VIII.

donc on a exactement

$\lim \textstyle \sum \Delta \mathrm {P} =p_{0}$,$\lim \textstyle \sum \Delta \mathrm {N} =n_{0}$ ;

$\mathrm {E} _{s}$ est aussi l’ensemble des singularités de $\mathrm {P(X)}$ et de $\mathrm {N(X)}$.

Inversement, de quelque manière qu’on ait déterminé les ensembles des singularités de $\mathrm {P} (x)$ et de $\mathrm {N} (x)$, leur réunion donne l’ensemble des singularités de $\mathrm {F(X)}$ ; car il est évident que la somme des ensembles des singularités des termes d’une somme est l’ensemble des singularités de la somme. $\mathrm {E} _{s}$ étant l’ensemble des singularités de $\mathrm {F} (x)$, pour toute suite d’intervalles ouverts enfermant $\mathrm {E} _{s}$ et de mesure tendant vers zéro, la somme

$\textstyle \sum \Delta \mathrm {F} =\sum (\Delta \mathrm {P} -\Delta \mathrm {N} )=\sum \Delta \mathrm {P} -\sum \Delta \mathrm {N}$

tend vers

$p_{0}-n_{0}=\mathrm {P} _{s}(b)-\mathrm {N} _{s}(b)=\mathrm {F} _{s}(b)$.

En d’autres termes, le procédé qui a permis d’attacher à chaque ensemble $\mathrm {E}$ mesurable un accroissement ${{\mathcal {A}}_{\mathrm {F} }(\mathrm {E} )}$ lorsque $\mathrm {F}$ était absolument continue — procédé consistant à enfermer $\mathrm {E}$ dans une suite d’ensemble d’intervalles ouverts^[1] dont les mesures tendent vers celles de $\mathrm {E}$ et à prendre la limite des sommes ${\textstyle \sum \Delta \mathrm {F} }$ fournies par cette suite d’ensembles d’intervalles — s’applique à une fonction $\mathrm {F}$ à variation bornée quelconque lorsque l’on prend pour $\mathrm {E}$ son ensemble des singularités. Mais l’ensemble des singularités est le seul ensemble pour lequel ce procédé s’applique encore, du moins s’il s’agit d’une fonction continue.

D’une façon plus précise, on pourra démontrer que si l’on appelle $\mathrm {F} _{1}(x)$ une fonction égale à $\mathrm {F} (x)$, sauf aux points où l’on a

$\mathrm {F} (x-0)=\mathrm {F} (x+0)\neq \mathrm {F} (x)$

pour lesquels

$\mathrm {F} _{1}(x)=\mathrm {F} _{1}(x-0)$,

— c’est-à-dire si l’on appelle $\mathrm {F} _{1}(x)$ la fonction qui fournit la même fonction d’intervalle que $\mathrm {F} (x)$, mais qui est débarrassée des singularités inutiles de $\mathrm {F} (x)$ — le procédé de définition précédemment utilisé pour l’accroissement dans un ensemble d’une fonction absolument continue peut encore être employé pour $\mathrm {F} (x)$

1. Lorsqu’il s’agit d’une fonction continue il importe peu que les intervalles soient ouverts ou fermés.