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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.
mais qui comprend toujours tous les ensembles mesurables B ; c’est la famille des ensembles qui, par le changement de variable convenablement interprété, fournit des ensembles mesurables en .
On a vu, par le procédé même qui nous a permis de construire , que l’on pouvait toujours faire en sorte que l’ensemble des singularités de soit mesurable B. Alors, pour cet ensemble, on a deux définitions différentes de l’accroissement de , il faut vérifier qu’elles sont en accord.
Or soit un ensemble mesurable B, il lui correspond un ensemble ; enfermons dans des intervalles ouverts [1] et dont on fera tendre la mesure vers celle de . Si l’on a eu soin de choisir les de façon qu’ils n’aient aucune extrémité à l’intérieur des intervalles correspondant aux points singuliers de , ce qui est possible, correspond à un ensemble d’intervalles ouverts [2] enfermant et de mesure tendant vers celle de ; la somme tend alors vers car elle est égale à qui tend vers .
Si donc est l’ensemble des singularités de , la seule chose nouvelle qui se présente c’est que nous ne sommes plus obligés d’utiliser l’ensemble particulier déduit des pour calculer ; on peut employer tout autre ensemble d’intervalles ouverts enfermant , et de mesure variable et tendant vers zéro.
Quand on se restreint[3] à la considération des ensembles auxquels correspondent des ensembles mesurables, on peut dire que les ensembles des singularités sont ceux pour lesquels on a à la fois
,
.
Déduisons de là que si et sont pour deux ensembles des singularités, de cette catégorie, mesurables B par exemple, l’ensemble des points communs à et à est aussi ensemble des singularités de .
- ↑ Les intervalles de qui auraient une extrémité en ou en seraient cependant pris fermés.
- ↑ Dans il pourrait y avoir pourtant un intervalle fermé en ou en .
- ↑ Je ne sais pas si cette restriction est effective, c’est-à-dire s’il y a des ensembles auxquels correspondent des non mesurables.