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CHAPITRE IX.

l’intégration des fonctions sommables nous permettra de trouver une fonction connaissant l’un de ses nombres dérivés.

Au Chapitre V, nous avons démontré qu’une fonction continue ayant son nombre dérivé supérieur à droite, par exemple, constamment nul, était constante en calculant de façon approchée l’accroissement subi par cette fonction, à l’aide de la considération d’une chaîne d’intervalles. C’est le même procédé de calcul que nous allons appliquer à une fonction continue $f(x)$ dont nous supposerons connu le nombre dérivé supérieur à droite ${\Lambda f(x)}$ dans un intervalle ${(a,b)}$ .

À partir de $a$ , nous allons couvrir ${(a,b)}$ d’une chaîne d’intervalles satisfaisant aux conditions qui vont être indiquées^[1] :

1^o Chaque intervalle a une longueur au plus égale à un nombre positif $\lambda$ que l’on fera par la suite tendre vers zéro. Alors si l’on prend les sommes $p$ et $-n$ , formées respectivement des accroissements positifs et négatifs, fournies par la chaîne, on sait que, lorsque $\lambda$ tend vers zéro, $p$ et $+n$ tendent respectivement vers les variations totales positive et négative, $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N}$ , et cela uniformément à un certain égard, comme il a été dit page 53.

Nous allons nous proposer seulement le calcul de $\mathrm {P}$ . On sait qu’on obtient une valeur approchée de $\mathrm {P}$ en faisant la somme des accroissements positifs de $f(x)$ donnés par les intervalles de la chaîne. Or, l’intervalle ${(x_{0},x_{0}+h)}$ donne un accroissement égal à ${h\,r[f(x),x_{0},x_{0}+h]}$ , et ce nombre $r$ est une valeur approchée de ${\Lambda f(x_{0})}$ . Il convient de préciser cette approximation ; pour cela nous partagerons ${(a,b)}$ en les ensembles

\mathrm {E} [l\varepsilon \leqq \Lambda f(x)<(l+1)\varepsilon ]=\mathrm {E} _{l}

,

relatifs aux diverses valeurs de $l$ entières, positives, négatives et

↑ Pour satisfaire aux exigences logiques, indiquées en note page 67, il conviendrait d’ailleurs, ce qui serait facile, de préciser ces conditions pour que la construction de la chaîne ne comporte plus aucun choix ; nous ne nous y arrêterons pas.
La condition 1^o est en réalité inutile ; les conditions 2^o et 3^o suffisent.

On pourra remarquer que ce qui suit ne suppose à aucun moment que ${\Lambda f(x)}$ soit le nombre dérivé supérieur à droite de $f(x)$ , mais seulement que ${\Lambda f(x)}$ est mesurable et compris en tout point entre les deux nombres dérivés à droite de $f(x)$ ; ${\lambda _{d}\leqq \Lambda f\leqq \Lambda _{d}}$ . De nos considérations résulte alors que $f$ est déterminée par ${\Lambda f}$ , quand ${\Lambda f}$ est sommable. C’est la réponse à une question posée par M. Denjoy.

[1] Pour satisfaire aux exigences logiques, indiquées en note page 67, il conviendrait d’ailleurs, ce qui serait facile, de préciser ces conditions pour que la construction de la chaîne ne comporte plus aucun choix ; nous ne nous y arrêterons pas.
La condition 1^o est en réalité inutile ; les conditions 2^o et 3^o suffisent.

On pourra remarquer que ce qui suit ne suppose à aucun moment que ${\Lambda f(x)}$ soit le nombre dérivé supérieur à droite de $f(x)$ , mais seulement que ${\Lambda f(x)}$ est mesurable et compris en tout point entre les deux nombres dérivés à droite de $f(x)$ ; ${\lambda _{d}\leqq \Lambda f\leqq \Lambda _{d}}$ . De nos considérations résulte alors que $f$ est déterminée par ${\Lambda f}$ , quand ${\Lambda f}$ est sommable. C’est la réponse à une question posée par M. Denjoy.

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