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CHAPITRE IX.

que

${\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}$,${\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}$

tendent vers deux limites déterminées $\beta$ et $-\gamma$, et que l’on ait

${\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}>{\frac {\beta }{2}}$ ou $<{\frac {\gamma }{4}}$,

suivant que $\beta$ est positif ou nul, et

${\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}\left[f(x)-f(x_{0})\right]\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}<-{\frac {\gamma }{2}}$ ou $>-{\frac {\beta }{4}}$

suivant que $\gamma$ est positif ou nul.

Remarquons, au reste, que ${\beta -\gamma }$ est au moins égal à $\alpha$, donc que $\beta$ et $\gamma$ ne sont jamais nuls à la fois, et que

$m(\mathrm {E} _{n})+m(\mathrm {E} _{p})=m(\Delta )$,

donc que l’un au moins des deux ensembles $\mathrm {E} _{n}$ et $\mathrm {E} _{p}$ appartient à la famille régulière d’ensemble de paramètre ${k={\frac {1}{4}}}$.

Si $\mathrm {E} _{p}$ est régulier et ${\beta >0}$, en prenant ${\mathrm {E} \equiv \mathrm {E} _{p}}$, on a

${\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}>f(x_{0})+{\frac {\beta }{2}}\,{\frac {m(\Delta )}{m(\mathrm {E} )}}>f(x_{0})+{\frac {\beta }{2}}$.

Si ces deux conditions ne sont pas réalisées à la fois et si $\mathrm {E} _{n}$ est régulier et ${\gamma >0}$, on prend ${\mathrm {E} \equiv \mathrm {E} _{n}}$,

${\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}<f(x_{0})-{\frac {\gamma }{2}}\,{\frac {m(\Delta )}{m(\mathrm {E} )}}<f(x_{0})-{\frac {\gamma }{2}}$.

Si $\mathrm {E} _{p}$ est irrégulier, ${\beta >0}$, et si ${\gamma =0}$, $\mathrm {E} _{n}$ est alors régulier ; nous prendrons ${\mathrm {E} \equiv \Delta }$ et nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {\int _{\mathrm {E} }f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\mathrm {E} )}}&={\frac {\int _{\mathrm {E} _{p}}f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}+{\frac {\int _{\mathrm {E} _{n}}f(x)\,\mathrm {d} x}{m(\Delta )}}\\&>\left[f(x_{0}){\frac {m(\mathrm {E} _{p})}{m(\Delta )}}+{\frac {\beta }{2}}\right]+\left[f(x_{0}){\frac {m(\mathrm {E} _{n})}{m(\Delta )}}-{\frac {\beta }{4}}\right]\\&=f(x_{0})+{\frac {\beta }{4}}{\text{.}}\end{aligned}}$