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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.

dans tout intervalle contenu dans et contenant , la densité moyenne de soit supérieure à . On appellera alors

,

la limite inférieure de cette densité moyenne et, à partir de et , comme tout à l’heure à partir de et , on définira, par l’intermédiaire de un nombre et un intervalle . Et ainsi de suite.

Soit l’ensemble formé par la partie de extérieure à et contenue dans , de la partie de extérieure à et contenue dans , …. Il est clair que est continue en sur  ; nous allons constater que est de densité un au point .

Pour cela, raisonnons sur un ensemble qui serait constitué dans par et qui, dans , serait tel que, dans tout intervalle contenu dans et contenant , sa densité moyenne surpasse . On pourrait, par exemple, prendre identique à dans .

Les intervalles contenus dans et contenant sont, ou bien contenus dans , et alors nous connaissons pour eux la limite inférieure de leur densité moyenne, ou non contenus dans . Soit un tel intervalle, sa partie située dans . Dans , avait une mesure au moins égale à  ; mais tout peut faire partie de et, dans , a une mesure supérieure à  ; finalement, dans , a une mesure supérieure à

,

donc une densité moyenne supérieure à

.

Or, soit l’ensemble identique à dans , soit l’ensemble identique à à l’extérieur de , et identique à dans . Il est clair maintenant que les densités moyennes de , , …, sont toutes supérieures à dans les intervalles contenant , contenus dans et contenant  ; que les densités