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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES. L’EXISTENCE DES DÉRIVÉES.
dans tout intervalle contenu dans
et contenant
, la densité moyenne de
soit supérieure à
. On appellera alors
![{\displaystyle 1-\varepsilon _{2}+\eta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706efa80d3f88be716e0fc03ec87d5b35ae1c6de)
,
la limite inférieure de cette densité moyenne et, à partir de
et
, comme tout à l’heure à partir de
et
, on définira, par l’intermédiaire de
un nombre
et un intervalle
. Et ainsi de suite.
Soit
l’ensemble formé par la partie de
extérieure à
et contenue dans
, de la partie de
extérieure à
et contenue dans
, …. Il est clair que
est continue en
sur
; nous allons constater que
est de densité un au point
.
Pour cela, raisonnons sur un ensemble
qui serait constitué dans
par
et qui, dans
, serait tel que, dans tout intervalle contenu dans
et contenant
, sa densité moyenne surpasse
. On pourrait, par exemple, prendre
identique à
dans
.
Les intervalles contenus dans
et contenant
sont, ou bien contenus dans
, et alors nous connaissons pour eux la limite inférieure
de leur densité moyenne, ou non contenus dans
. Soit
un tel intervalle,
sa partie située dans
. Dans
,
avait une mesure au moins égale à
; mais tout
peut faire partie de
et, dans
,
a une mesure supérieure à
; finalement, dans
,
a une mesure supérieure à
![{\displaystyle (1-\varepsilon _{1}+\eta _{1})\,m(\mathrm {L} )-m(l)+(1-\varepsilon _{2})\,m(l)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a2b7800b96f02b8f0c3dcc44dfb441ba54e736)
,
donc une densité moyenne supérieure à
![{\displaystyle 1-\varepsilon _{1}+\eta _{1}-\varepsilon _{2}\,{\frac {m(l)}{m(\mathrm {L} )}}>1-\varepsilon _{1}+\eta _{1}-\varepsilon _{2}>1-\varepsilon _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33978b2a698e4188d7841e67ed3fc4bc38426f40)
.
Or, soit
l’ensemble
identique à
dans
, soit
l’ensemble identique à
à l’extérieur de
, et identique à
dans
. Il est clair maintenant que les densités moyennes de
,
, …, sont toutes supérieures à
dans les intervalles contenant
, contenus dans
et contenant
; que les densités